3.6.5. Скорректированный коэффициент детерминации

Недостаток нескорректированного коэффициента детерминации в том, что R² увеличивается при введении новых факторов, хотя качество уравнения регрессии может и не возрастать, т.е. вводимые регрессоры являются малозначимыми. Скорректированный (адаптивный) коэффициент множественной детерминации определяется по формуле:

(3.26)

В отличие от не скорректированного коэффициента детерминации R² этот коэффициент может в принципе уменьшаться при увеличении числа регрессоров (за счет знаменателя второго члена), если эти дополнительные регрессоры малозначимы, т.е. более информативен, чем R², но с одной оговоркой: для вновь вводимых регрессоров критерий Стьюдента должен быть больше 1 по модулю:

3.6.6. Проверка гипотезы о чисто случайном характере остатков

Здесь может быть два случая:

Случай а): База данных упорядочена по времени: вектор – строки (или кортежи ) расположены в порядке возрастания времени, т.е. образует многомерный временной ряд.

t_i=t₁,t₂,…..t_n; t_n>t_i-1 , "_i=

В этом случае можно применить для оценки чисто случайного характера остатков {е_i} два критерия: поворотных точек, либо критерий Фостера – Стьюарта [1] (отсутствие тренда в остатках). Для оценки наличия автокорреляции в остатках можно использовать критерий Дарбина – Уотсона [5].

1). При проверке гипотезы об отсутствии временного тренда в остатках по критерию поворотных точек проверяется нуль гипотеза:

(3.27)

Если данное неравенство истинно, т.е. экспериментальное число поворотных точек p, определяемое по графику, меньше теоретического, то это означает, что имеется тренд в остатках и остатки не являются чисто случайными.

Если неравенство нарушено, то тренда в остатках нет, и их можно считать случайными, как не содержащими тренда.

Если нуль-гипотеза Н₀ выполняется, то временного тренда нет.

2). Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках по критерию Дарбина-Уотсона

Автокорреляция – это корреляция между членами одного и того же временного ряда.

Здесь можно испльзовать d – статистику Дарбина-Уотсона:

(3.28)

Смысл этого критерия: чем меньше разность суммируемых членов, тем сильнее проявление «последействия», т.е. влияния предыдущего остатка на последующий и тем вероятнее наличие автокорреляции остатков.

Замечание:

1. Если d>2, то перед входом в таблицу теоретических значений d-критерия надо сделать преобразование переменных:

d®d^¢ = 4-d

Выводы:

• Автокорреляция имеет место, остатки не являются чисто случайными, нарушена адекватность модели, если d < d_таб.min.

• Ничего сказать об автокорреляции енльзя, нужно использовать другие критерии, если d Î [d_таб.min; d_таб.max].

• Автокорреляция отсутствует, нарушений адекватности нет, если

d > d_таб.max.

При неопределенной ситуации применяются другие критерии. В частности, можно использовать первый коэффициент автокорреляции, т.е. коэффициент линейной парной корреляции между соседними членами временного ряда е_t, е_t-1:

(3.29)

(3.30)

Случай б): База данных не упорядочена во времени (например, при социологических опросах, данные по разным странам т.д.)

В этих случаях упомянутые выше критерии поворотных точек, Фостера- Стьюарта, Дарбина- Уотсона в принципе неприменимы. Вместо них проверяется тест на отсутствие гетероскедастичности, т.е. корреляции между регрессорами и остатками [5]. Например, можно использовать тест Уайта: строится линейное уравнение регрессии для квадратов остатков:

(3.31)

Гипотеза о статистической значимости линейного уравнения регрессии для квадратов остатков в целом проверяется по критерию Фишера-Стьюдента, точно так же как и для основного уравнения регрессии.

(3.32)

(3.33)

Вывод:

Если нуль-гипотеза для критерия Фишера выполняется, то гетероскедастичности нет, если неравенство не выполняется, то это означает что гетероскедастичность есть, т.е. остатки е_i не являя.тся случайными и это указывает на нарушение предпосылки 3 метода наименьших квадратов. В этом случае модель не адекватна.