25.Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Задача вычисления суммы знакочередующегося ряда с данной точностью.

Ряд называется знакочередующимся, если знаки его членов чередуются, т.е если первый член положителен, второй отрицателен, третий положителен, и т.д.

Если первый отрицателен, то второй положителен, третий отрицателен и т.д.

Если перед скобкой стоит + ряд начинается с положительного члена, иначе - с отрицательного.

Вопрос о сходимости таких рядов решается с помощью теоремы Лейбница.

Теорема:

Пусть дан знакочередующийся ряд, для которого выполняются два условия

1. Модули членов ряда монотонно убывают

2. Общий член ряда стремится к нулю

Если выполнены эти два условия, то знакочередующийся ряд сходится, и абсолютная величина суммы ряда меньше модуля первого члена

Док-во:

Нужно установить существование предела у последовательности частичных сум ряда.

Вместо того чтобы рассматривать целиком эту последовательность, мы рассмотрим две последовательности

Последовательность частичных сумм с четными номерами, и последовательность нечентных частичных сумм.

Поскольку все скобки положительны, с ростом k последовательность монотонно возрастает.

В силу условия 1 теоремы с ростом m последовательность S_{2m+1} монотонно убывает, поскольку с ростом n мы вычитаем все больше и больше членов, т.е последовательность четных частичных сумм монотонно возрастает, а нечетных монотонно, убывает.

Покажем, что любая четная частичная сумма строго меньше любой нечетной частичной суммы.

Сравним частичные суммы S_{2k} и S_{2m+1}

Рассмотрим два случая

1. k≤m

2. k>m

Таким образом любая частичная сумма с четным номером строго меньше любой частичной суммы с нечетным номером.

Все это мы можем изобразить на вещественной прямой.

Обе последовательности частичных сумм имеют пределы.

Последовательность S_{2m+1} монотонно убывает и ограничена снизу числом S_2.

Последовательность S_{2m} монотонно возрастает и ограничена сверху числом S_{2m+1}.

Вообще говоря эти пределы могут быть различными, однако из условия 2 теоремы будет следовать, что эти пределы одинаковы.

Следовательно пределы одинаковы.

Существует предел и всей последовательности частичных сумм, равный S.

Из этого же рисунка видно, что сумма ряда будет меньше чем u_1.

Случай, когда ряд начинается с отрицательного члена мы можем получить из рассмотренного нами случая, отразив нашу картинку относительно начала отсчета, так как при этом нужно изменить знак у каждого члена ряда. При этом сумма ряда будет отрицательной, но по прежнему |S|<u_1

Теорема доказана.

Для знакочередующихся рядов относительно просто можно решить задачу вычисления суммы ряда с заданной точностью.

При вычислении суммы ряда обычно заменяют эту сумму суммой первых n слагаемых, т.е частичной суммой.

При этом допускается погрешность.Эта погрешность равна сумме ряда, который обычно называют остатком данного ряда.

Если ряд сходится, то

Модуль остатка и есть погрешность, которую мы допускаем, заменяя сумму ряда частичной суммой.

Остаток знакочередющегося ряда тоже является знакочередующимся рядом, а поэтому его сумма, т.е остаток будет меньше модуля первого отброшенного члена. |r_n|<u_{n+1}

26. Абсолютная и условная сходимость числового ряда.

Ряд   называют абсолютно сходящимся числовым рядом, если сходится ряд  .

Если же ряд, составленный из модулей членов данного ряда расходится, а исходный ряд сходится, то ряд – условно сходящийся.

Пример:

• - условно сходящийся;

• – абсолютно сходящийся

Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствущих членов, находим        Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Сначала воспользуемся признаком Лейбница и найдем предел  . Вычислим этот предел по правилу Лопиталя:        Таким образом, исходный ряд расходится.

27. Функциональные ряды. Область сходимости. Понятие равномерной сходимости. Признак равномерной сходимости

Функциональным рядом называется ряд, члены которого являются функциями некоторого переменного x.

Заметим, что если переменную x зафиксировать то мы получим обычный числовой ряд

состоящий из значений функций в данной точке x_0.

Если эту точку изменить, то мы можем иметь уже другой числовой ряд.

В данной точке x_0 числовой ряд может сходится, а может и расходится.

Опр. Точка x_0 называется точкой сходимости функционального ряда, если при x=x_0 ряд сходится.

Множество всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости функционального ряда.

Во многих случаях функции u_n(x) определены на всей числовой прямой, и первой основной задачей теории функциональных рядов является нахождение области сходимости функционального ряда.

Понятие равномерной сходимости функционального ряда

Сходимость числового ряда равносильная стремлению к нулю остатка этого ряда.

В случае функционального ряда остаток зависит от x.

Если ряд сходится при данном x, то 

Последнее равенство означает, что для любого эпсилон >0 найдется такой номер N_эпсилон, такой что |r_n(x)|<эпсилон, n≥N_эпсилон

N_эпсилон вообще говоря зависит не только от эпсилон, но и от x

При данном эпсилон и данном x существует такой номер N_эпсилон

Но если x изменить, то этот номер может оказаться совсем другим.

При это общего значения эпсилон для всех x может не существовать.

Опр. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на некотором отрезке изменения аргумента x, если для любого эпсилон>0 найдется такой номер N_эпсилон, один для всех x из этого промежутка, начиная с которого |r_n(x)|<эпсилон, n≥N_эпсилон

Теорема. Пусть дан функциональный ряд и числовой ряд с положительными членами.

Числовой ряд сходится.

Если при всех x из некоторого промежутка для всех n выполнены неравенства

то на этом промежутке функциональный ряд сходится равномерно.

28. Основные теоремы о функциональных рядах

Теорема 1.

Пусть члены функционального ряда

являются непрерывными функциями на некотором промежутке.

Пусть также функциональный ряд сходится равномерно на этом промежутке

Тогда сумма ряда S(x) будет непрерывной функцией на этом промежутке.

Теорема 2.

Пусть члены функционального ряда являются непрерывными функциями на некотором сегменте [a,b]

Пусть функциональный ряд сходится на этом сегменте равномерно.

Тогда:

Равномерно сходящийся ряд можно почленно интегрировать.

Теорема 3.

Пусть дан функциональный ряд

Члены ряда предполагаются дифференцируемыми на некотором интервале.

Известно также, что ряд составленный из производных

сходится равномерно на этом интервале.

Тогда исходный ряд сходится на этом интервале, его сумма является дифференцируемой функцией на этом интервале, и производная суммы равна сумме ряда, составленных из производных.

Т.е при этих условиях ряд можно почленно дифференцировать40.Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение.

Покажем, что преобразование лапласа существует для всякого оригинала. Для этого нужно показать, что интеграл, определяющий преобразование лапласа является сходящимся, при условии что переменная P принимает значение в некоторой области. Для этого оценим преобразование Лапласа

Отсюда видно, что в случае когда S<S_0 последний интеграл сходится, т.е конечен, а это означает, что преобразование Лапласа существует когда комплексная переменная p принимает значение

Преобразование Лапласа F(p ) в дальнейшем называется изображением данного оригинала и тот факт, что F(p ) есть изображение оригинала f(p ) записывается сокращенно в виде f(t) -> F(p )

Теорема единственности оригинала

Для каждого изображения F(p ) существует единственный оригинал f(t)

Мы можем для любого оригинала найти изображение, но не может быть такого, чтобы были разные оригиналы, но одинаковое изображение.

Таким образом для каждого оригинала мы можем найти единственное изображение и для каждого изображения существует только один оригинал

Между множеством оригиналов и множеством изображений существует взаимно-однозначное соответствие. Здесь надо иметь ввиду что далеко не всякая функция комплексного переменного является оригиналом какого-то изображения.

Отметим также, что изображение F(p ) является аналитической функцией полуплоскости своего определения