11.Свойства двойного интеграла.

12. Геометрический смысл двойного интеграла.

Геометрический смысл в том, что двойной интеграл от неопределенной функции всегда равен объему соответствующего цилиндрического тела.

Каждое слагаемое интегральной суммы - элементарное цилиндрическое тело.

Сумма всех слагаемых - объем ступенчатого тела, состоящего из элементарных призм. тел. При сгущении разбиения ступенчатое тело неограниченное приближается к цилиндрическому телу.

13 Двукратный (повторный) интеграл для правильных областей. Равенство двойного интеграла и повторного. Вычисление двойного интеграла.

Опр Область D - правильная в направлении OY, если любая прямая, параллельная OY, и проходящая через внутреннюю точку проекции области D на ось OX, пересекает границу обл. D не более, чем в 2 точках.

Предположим, что D - правильная вдоль OY.

Тогда можно считать, что D - ограничена сверху и снизу границами каких-то функций.

Двукратным интегралом для области, правильной вдоль OY называется:

Опр Область D - правильная в направлении OX, если любая прямая, параллельная OX, и проходящая через внутреннюю точку проекции области D на ось OY, пересекает границу обл. D не более, чем в 2 точках.

Иногда вход и выход совпадают.

Если D - правильная в направлении OX, можно построить второй тип двукратного интеграла:

Т если область D - правильная в направлении оси OX или в направлении OY, то двойной интеграл по этой области равняется соответствующему двукратному интегралу, в частности если область правильная и в направлении OX, и в направлении OY, то можно построить 2 повторных интеграла 1 и 2 типа, и они равны между собой, поскольку каждый из них совпадает с двойным интегралом.

Повторный интеграл позволяет найти двойной интеграл для правильной области.

Если область неправильна в обеих направлениях, ее нужно разрезать на правильные области, затем вычислить интеграл каждой области, затем сложить.

14 Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.

При замене переменной в обычном интеграле используется монотонная функция x=ф(t), которая отображает отрезок [a,b], где меняется переменная x в отрезок [ ], где меняется переменная t, точнее сказать наоборот: .

Если функция монотонно убывающая, то будет больше и можно поменять местами пределы интегрирования, записав формулу в следующем виде:

Где - левый и правый концы того отрезка, который переводится функцией ф(t) в отрезок [ ].

Пусть нам теперь дан двойной интеграл и пусть даны две функции некоторых новых переменных : , .

В плоскости переменных имеется некоторая область D*, которая с помощью функций , взаимно-однозначно переводится в область D плоскостью XOY.

Причем, для каждой точки области D с координатами (x, y) есть соответствующий прообраз – точка с координатами ( ): , . Между плоскостями есть взаимно-однозначное соответствие функций, т.е. задается отображение D* -> D.

Опр Якобиан отображения - определитель:

Если отображение взаимно-однозначно, то якобиан отличен от нуля во всех внутренних точках области D*.

Т Пусть пара функций , задают взаимно-однозначное соответствие между областями D* и D. Тогда справедливо следующее равенство:

Обычно замена переменных в двойном интеграле производится с целью упрощения вычисления этого интеграла. Для области D иногда можно подобрать пару функций фи, пси, которая бы осуществляла взаимно-однозначное соответствие между областью D и областью D*. Интеграл по D* может оказаться более простым.

В полярных координатах:

Для каждой точки (x, y) можно приписать и полярные координаты.

Предположим, что в двойном интеграле делается замена переменных с помощью функций , .

Вычислим якобиан:

Если воспользоваться общей теоремой о замене переменных в двойном интеграле, то

Прямое использование последней формулы затруднительно. Как правило, нахождение D* представляет собой непростую задачу.

Но если D задается в полярных координатах, то для интеграла справа в этой формуле легко написать двукратный интеграл.

При этом можно не определять в явном виде D*.

При задании D в полярной системе координат обычно задают пределы изменения координаты для точек области, а также уравнение границы области в полярной системы координат.

При проектировании на ось область D* мы получим отрезок [ ], т.е получим пределы интегрирования во внешнем интеграле. Если зафиксировать, то в нашей области r будет меняются от до . Это будут пределы во внутреннем интеграле.

Часто при вычислении двойных интегралов используют обобщенные полярные координаты.

15 Определение и теорема существования тройного интеграла.

Тройной интеграл аналогичен обычному определенному интегралу, если функция трех переменных. Определяется по сути так же как и двойной: теперь дано некоторое тело в пространстве, причем в каждой точке этого тела определена функция .

Выберем в каждой части точку с координатами (x,y,z) и составим сумму , где -объем частичного тела, эта сумма называется интегральной суммой от функции f(x,y,z) по телу T.

Опр Тройным интегралом от функции f(x,y,z) по телу T называется предел последовательности интегральных сумм, построенных по указанной последовательности разбиений.

Т Если f(x,y,z) непрерывна во всех точках тела T, включая точки границы, то любая последовательность интегральных сумм имеет предел, и все эти пределы совпадают друг с другом.

Тройной интеграл обладает всеми свойствами, которыми обладает обычный определенный и двойной интегралы.

16 Выражение тройного интеграла через двойной для правильных областей.

Опр Тело T называется правильным в направлении какой-то из координатных осей, если любая прямая, параллельная этой оси, и проходящая через точку проекций тела вдоль этой оси, пересекает границу тела не более чем в двух точках.

Обычно тело может быть задано с помощью графиков двух функций двух аргументов.

Т Всякий тройной интеграл по правильной области T от непрерывной функции f(x,y,z) равен двойному интегралу:

Во внутреннем интеграле интегрирование ведется строго по переменной z, x и y при этом считаются константами, поле интегрирования от x и y от этого выражения берется двойной интеграл.