3. Понятие частной производной функции нескольких аргументов.

ОПР. Для функции частной производной по переменной называется производная по этой переменной , при условии, что остальные переменные считаются константами.

Следует обратить внимание, что обозначение   следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной  , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции:  , где   — частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа   является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение   в выражении 

4. Дифференцируемость функции нескольких аргументов. Полный дифференциал. Линеаризация функции.

Пусть и задана некоторая точка в области допустимых значений функции Введём приращение аргументов . С помощью этих приращений можно перейти из одной точки в некоторую новую точку. ,

ОПР. , называется дифференциальной в точке , если для её приращения справедливо следующее равенство.

, - константы, зависящие от точки .

Т. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то в этой точке существует частная производная этой функции по всем аргументам и справедливы следующие равенства.

Доказательство проведём для функции 2х аргументов.

,

Поскольку в определённой диффернтности произвольны и только

, то можно считать, что

Разделим равенства на .

Отсюда вытекает, что в точке существует частная производная по x и справедливо равенство

Если функция задана аналитически, а точка входит в её область определения, то обычно функция дифференцируема в этой точке, т.е. требование дифференцируемости??? не ограничено.

Полный дифференциал

Кроме приращения функции важную роль играет понятие дифференциала функции.

ОПР. Дифференциалом функции в точке называется сумма произведений (дальше придумайте сами)

Основное свойство дифференциала

Если функция в точке , то её приращение при переходе из точки в точку равно дифференциалу в точке плюс величина, превращающаяся в 0? быстрее, чем корень из суммы квадратов приращения аргументов.

Эта формула применима для приблизительных вычислений. Остаточный член отбрасывается, равенство заменяется приближённым равенством:

5 Нахождение частных производных сложных функций. Частные производные сложной функции нескольких переменных

 

Предположим, что в уравнении    и   являются функциями независимых переменных   и  : . В этом случае говорят, что   есть сложная функция от аргументов   и  .

Если функции   имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам, то .

 

6. Неявные функции одной и двух переменных. Нахождение производных неявных функций.

Производная функции, заданной неявно

Или короче – производная неявной функции. Что такое неявная функция? Поскольку мои уроки носят практическую направленность, я стараюсь избегать определений, формулировок теорем, но здесь это будет уместно сделать. А что такое вообще функция?

Функция одной переменной   – это правило, по которому каждому значению независимой переменной   соответствует одно и только одно значение функции  .

Переменная   называется независимой переменной или аргументом. Переменная   называется зависимой переменной или функцией.

Грубо говоря, буковка «игрек» в данном случае – и есть функция.

До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.

Рассмотрим функцию 

Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа – только «иксы». То есть, функция   в явном виде выражена через независимую переменную  .

Рассмотрим другую функцию:   

Здесь переменные   и   расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство   и попробуйте выразить «игрек» в явном виде:  . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.

Разрешите познакомить:   – пример неявной функции.

В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует (однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права секс-меньшинств соблюдены.

И на этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.

Да, и сообщу хорошую новость – рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму без камня перед тремя дорожками.

Пример 1

Найти производную от функции, заданной неявно 

1) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:

2) Используем правила линейности производной (первые два правила урока Как найти производную? Примеры решений):

3) Непосредственное дифференцирование.  Как дифференцировать   и   совершенно понятно. Что делать там, где под штрихами есть «игреки»?

 – просто до безобразия, производная от функции равна её производной:  .

Как дифференцировать  Здесь у нас сложная функция. Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква «игрек». Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ(см. определение в начале урока). Таким образом, синус – внешняя функция,   – внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции  :

Произведение дифференцируем по обычному правилу  :

Обратите внимание, что   – тоже сложная функция, любой «игрек с наворотами» – сложная функция:

Само оформление решения должно выглядеть примерно так: Если есть скобки, то раскрываем их:

4) В левой части собираем слагаемые, в которых есть «игрек» со штрихом. В правую часть – переносим всё остальное:

5) В левой части выносим производную   за скобки:

6) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:

Производная найдена. Готово.

Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например, функцию    можно переписать так:  . И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму. На самом деле фразы «функция, заданная в неявном виде» и «неявная функция» отличаются одним смысловым нюансом. Фраза «функция, заданная в неявном виде» более общая и корректная,    – эта функция задана в неявном виде, но здесь можно выразить «игрек» и представить функцию в явном виде. Под фразой «неявная функция» понимают «классическую» неявную функцию, когда «игрек» выразить нельзя.

Второй способ решения

Внимание! Со вторым способом можно ознакомиться только в том случае, если Вы умеете уверенно находить частные производные. Начинающие изучать математический анализ и чайники, пожалуйста, не читайте и пропустите этот пункт, иначе в голове будет полная каша.

Найдем производную неявной функции   вторым способом.

Переносим все слагаемые в левую часть:

И рассматриваем функцию двух переменных:

Тогда нашу производную можно найти по формуле  Найдем частные производные:

Таким образом:

Второй способ решения позволяет выполнить проверку. Но оформлять им чистовой вариант задания нежелательно, поскольку частные производные осваивают позже, и студент, изучающий тему «Производная функции одной переменной», знать частные производные как бы еще не должен.