Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами.
Для того, чтобы найти решение x(t) линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
(1)
(где f(t) – оригинал), удовлетворяющее начальным условиям
(2)
Следует применить к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа, т.е. от уравнения (1) с условиями (2) перейти к операторному уравнению
,
где Х(p)
– изображение искомого решения, F(p)
– изображение функции f(t),
а Q(p)
– некоторый многочлен, коэффициенты
которого зависят от начальных данных
и
которые тождественно равен нулю, если
. решив операторное уравнение относительно
X(p):
– характеристический
многочлен данного уравнения) и найдя
оригинал для X(p),
мы получим искомое решение x(t).Если
считать
произвольными
постоянными, то найденное решение будет
общим решением уравнения (1).Аналогично
решаются и системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.
Отличие будет лишь в том, что вместо
одного операторного уравнения получим
систему таких уравнений, которые будут
линейными относительно изображений
искомых функций.