45. Теорема о дифференцировании оригинала

• Дифференцирование оригинала

46. Теорема об интегрировании оригинала.

Теорема об интегрировании оригинала.

.

В самом деле, изменяя порядок интегрирования, имеем

.

47. Понятие свертки двух оригиналов. Теорема о свертке.

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

  Теорема о свертке

Если   и   то последовательность

                         

имеет z-преобразование

                              

т. е. z-преобразование линейной свертки двух последовательностей равно произведению их z-преобразований.

Доказательство

Сделаем замену   В результате получим

 

что и требовалось доказать.

48 Теорема единственности для преобразования Лапласа. Прямая и обратная задачи операционного исчисления.

Теорема единственности

Если две функции (t) и (t) имеют одно и то же L-изображение F(p), то эти функции тождественно равны.

Роль теоремы в том, что, если при решении практической задачи мы каким-либо образом определили изображение искомой функции, а потом по изображению нашли начальную функцию, то на основании теоремы единственности мы заключаем, что найденная функция есть решение поставленной задачи и других решений не существует.

Применяя определения 1, 2, и указанные выше свойства, получаем таблицу изображений основных элементарных функций (см. приложение).

Используя определение преобразования Лапласа, нетрудно вывести формулу для изображения кусочно-линейной функции. Примерный вид графика кусочно-линейной функции приведен на рис. 1.

Введем обозначения:

_k – точки разрыва функции f (t) или f(t);

 _k =a_k–b_k – скачки функции в узлах “стыка”;

_k=tg_k– tg_k – скачки производной f(t) в узлах “стыка”.

Изображение кусочно-линейной функции имеет вид

.

49. Решение обратной задачи операционного исчисления для рациональных изображений.

Как уже отмечалось, операционное исчисление основано на Т. о единственности оригинала для преобразования Лапласа.

Т. Если некоторая функция F(p) является изображением какого-то оригинала, то существует лишь один оригинал f(t), изображением которого является F(p).

Задача нахождения изображения по оригиналу называется прямой задачей операционного исчисления.

Задачей нахождения оригинала по изображению называется обратной задачей операционного исчисления.

Обратное преобразование Лапласа обладает задачей линейности:

Если есть линейная комбинация изображений, которая имеется в таблице, то с помощью свойства линейности обратной связи Лапласа можно найти оригинал.

Рассмотрим обратную задачу операционного исчисления для изображений, которые являются рациональными функциями.

Заметим, что не всякая рациональная функция является изображением какого-либо оригинала. Не для всякой рациональной функции обратная задача разрешима. Она разрешима, когда n<m, а не когда n≥m.

Для решения обратной задачи нужно знать корни знаменателя и их кратности. При этом знаменатель разложим на множители:

Каждую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму простейших дробей, в частности двух видов.

Для того, чтобы определить оригиналы этих простейших дробей, нужно воспользоваться обобщённой теоремой смещения.

Формула для нахождения оригинала рациональной функции, в случае, когда знаменатель рациональной функции имеет только простые корни.

В этом случае получаем разложение на простейшие дроби:

Найдём формулу для коэффициента

Для этого умножим обе части равенства на (p- и перейдём к пределу:

Аналогично получаем коэффициенты для следующих простейших дробей.

По сути доказана следующая теорема:

Если изображение F(p) является правильной рациональной функцией, знаменатель у которой имеет только простые корни, то оригинал такого изображения может быть найден по формуле: