38 Понятие функции комплексной переменной. Расширение в комплексную область элементарных функций.

 Понятие функции комплексного переменного является частным случаем общего математического понятия функции.

Определение. Если А –  некоторое множество комплексных чисел z (геометрически –  множество точек комплексной плоскости), и каждому числу z А поставлено в соответствие по некоторому закону число w  В (где В –  также множество комплексных чисел), то говорят, что на множестве А определена функция комплексного переменного z (или отображение множества А в В ).

Записывают: w  = f (z).

        Множество А называют областью определения функции, В –  множество, состоящее из значений, принимаемых функцией, называют областью значений функции.

         Принято множества А и В, изображать на отдельных комплексных плоскостях (см. рис. 5): плоскость z комплексных чисел z  = х + i у и плоскость w комплексных чисел w = u + i v .

        При этом точка w₀  = f (z₀) называется образом точки z₀, а z₀–  прообразом точки w₀.

        В частности, если А расположено на действительной оси ох, то z  = х является действительным переменным. Если же все значения w также действительны, то приходим к понятию функции действительного переменного как частному случаю функции комплексного переменного.

В общем случае z  = х + i у, w  = u (х, у) +  i v (х, у).

        Геометрически функцию f (z ) можно рассматривать как отображение множества А на множество В, переводящее точку (х, у) множества А в точку ( u, v ) множества В. Высказывание “ функция w  = f (z) определена на множестве А” эквивалентно следующему: “ каждой точке (х, у) из А поставлены в соответствие действительные числа  u   и v ” . Иными словами, на множестве А определены две действительные функции

 и   двух действительных переменных х и у. Итак, задание функции комплексного переменного w  = f (z) равносильно заданию двух функций двух действительных переменных   и   .

Основные элементарные функции комплексного переменного

        Функции комплексного переменного есть естественное распространение в комплексную область обычных для анализа элементарных функций. Однако, при таком распространении функции иногда приобретают новые свойства.

        Например, показательная функция комплексного переменного e^z оказывается периодической, функции sin z   и  cos z   перестают быть ограниченными, приобретают смысл логарифмы отрицательных чисел и т.д.

        Основными элементарными функциями комплексного переменного являются:

1. Степенная функция w = zⁿ.

2. Рациональная функция

а) многочлен w = c₀ + c₁z + c₂z² + ...+ c_nzⁿ;

б) отношение двух многочленов

 –  дробно-рациональная функция.

3. Показательная функция   e^z = e^x (cos y + i sin y).

Из определения показательной функции следует, что она не обращается в нуль ни при какомz . Функция e^z обладает периодом   , так как при изменении z на   значение функции не изменяется. Действительно, 

  .

4. Тригонометрические функции

Из определения тригонометрических функций вытекает, что cos z  –  чётная функция, а sin z  –  нечётная функция, так как

        Из определения же следует, что c o s z и   s i n z обладают периодом    , так как при изменении z на   аргументы показательных функций в правых частях формул изменяются на ±    –  величины периодов показательной функции, а значит значение функций не изменится.

        Можно показать, что все известные из тригонометрии соотношения для тригонометрических функций действительного аргумента сохраняются и в комплексной области. Однако свойство ограниченности функций уже не имеет место.