1. Понятие функции нескольких аргументов. Способы задания. Понятие о линиях и поверхностях уровня.

ОПР. Функцией нескольких аргументов называется закон соответствия, сопоставляющий каждой совокупности значений аргументов некоторое число, т.е., если всем аргументам придать какое-нибудь значение, то получим n-мерный вектор и функция является законом соответствия, где каждому вектору соответствует значение функции

Способы задания

1. Аналитический

2. Графический

3. Табличный

Аналитический способ задания функции с помощью формулы. Он может быть применен для задания функции любого числа аргументов.

При графическом способе функция 2х аргументов задаётся с помощью поверхности, которая находится в пространстве и расположена относительно системы координат так, что любая прямая параллельная оси Z пересекает поверхность в одной точке.

z=f(x, y)

z=f(x,y)

y

x

Можно однозначно спроектировать фигуру на плоскость XOY. Заметим, что для функции 2х аргументов, если она задана, например, аналитически, можно построить график, а именно, через каждую точку с координатами (x,y)провести прямую, параллельную оси Z и на ней отложены значения функции, тем самым получим точку. Если это сделать для всех точек определённой фигуры, то получим множество точек, которое как правило состоит некоторую поверхность, эта поверхность и называется графиком функции.

Табличный способ. В случае, когда функция 2х аргументов определена экспериментально и в результате каких-либо вычислений функцию задают в виде таблицы с 2мя входами z=f(x,y)

x\y

Если функция задаётся аналитически, то множество всех n-мерных точек, для каждой из которых выражение из функции называется естественной областью определения. Для функции 2х аргументов часто используется понятие линии уровня функции.

f(x,y)=C Константу C можно менять, т.е. получить семейство уравнений.

f(x,y,z)=C При различных С получим семейство поверхностей уровня.

Гиперповерхность уровня, т.е. множество точек в n-мерном пространстве, для которых выполняется равенство f(

2. Предел в точке для функции нескольких аргументов. Непрерывность.

z=f(x,y)

-выколотая окрестность, функция f(x,y) определена.

Опр. Число А называется пределом функции f(x,y)в точке , если для любой последовательности точек (придумай слово сам) окрестности такой, что справедливо равенство . В данном определении важный момент состоит в том, что последовательность точек является произвольной, при этом предел значений последовательности функции должен быть один и тот же. Если для одной последовательности, а для другой –нет, то говорят, что в точке функция не имеет предела.

Непрерывность функции нескольких аргументов.

Функция 2х аргументов z=f(x,y) называется непрерывной в точке выполняются следующие 3 условия

1. Функция определена в точке

2. В точке существует предел функции

3. Предел функции в данной точке совпадает со значением функции в этой точке