19 ) Постановка стационарной задачи для уравнений Лапласа и Пуассона. Постановка эволюционной задачи для теплопроводности для параболического уравнения.

Постановка стационарной задачи для уравнений Лапласа и Пуассона.

Классическими примерами уравнений эллиптического типа являются

Уравнение Лапласа:

( 1)

и Уравнение Пуассона:

(2)

G-замкнутая область

описывающие течение идеальной жидкости в стационарных потоках, стационарные тепловые поля (распределение температуры в замкнутой области ), стационарное двумерное распределение напряженности электрического или магнитного полей, стационарное распределение деформаций по сечению стержня в задачах строительной механики. При этом уравнение Пуассона описывает все эти явления при наличии в области G источников или стоков ,задаваемых правой частью f(x,y) уравнения (2).

Поскольку уравнения (1) и (2) –стационарные ,то ставится краевая задача нахождения распределения искомой функции u(x,y) внутри замкнутой области G, удовлетворяющей уравнению (1) или (2), при условии, что на границах Г этой области значения функции u(x,y) известны (заданы) в виде граничных условий

AutoShape 69 (3)

Г Г

Здесь производная функции u берется в направлении внешней нормали n по отношению к границе Г по области G . при имеем первую краевую задачу для уравнения Лапласа (задача Дирихле), при - вторую краевую задачу (задачу Неймана), а при - третью краевую задачу (смешанная задача).

Постановка эволюционной задачи для теплопроводности для параболического уравнения.

Классическим примером уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности или диффузии в области на отрезке времени

(4)

Где a- коэффициент теплопроводности (если u – температура) или массопроводности (если u – концентрация, давление в задачах фильтрации и т п).

Поскольку в уравнение(4) в качестве независимой переменной входит время, то необходимо задать начальные условия при t=0. Также нужны граничные условия при x=0, x= , t 0.