15)Метод конечных разностей. Идея метода и основные этапы решения. Погрешности метода.

Идея метода заключается в сведении краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений путем замены производных в диф уравнении и краевых условиях конечно-разностными отношениями.

Метод к.р. нашел широкое применение для численного решения как обыкновенных диф. Уравнений и их систем, так и уравнений в частных производных при разнообразных постановках задач. При этом построение решения в методе к.р. осуществляется в 3 этапа:

1. область непрерывного изменения аргумента(или аргументов) заменяется конечным дискретным множеством точек, называемых разностной сеткой. В разностной сетке выделяют внутренние и граничные узлы. Решение разыскивается во внутренних узлах, а в граничных узлах значение искомой функции решения задается граничными условиями исходной диф задачи. Функция дискретного аргумента, определенная на разностной сетке, называется сеточной функцией.

[область изменения аргумента заменяется сеткой из узловых точек(разностная сетка)]

2. Дифференциальные уравнения и граничные условия заменяются по определенным правилам своими разностными аналогами. Разностные выражения, соответствующие диф. Уравнению ,записываются во внутренних узлах сетки. Разностные выражения, соответствующие граничным условиям, записываются в граничных узлах. В результате получается система алгебраических уравнений, число которых равно числу узлов разностной сетки.

3. Осуществляется решение системы алгебраических уравнений каким-либо из известных методов. В большинстве случаев получаемая система уравнений является системой линейных уравнений очень большого порядка (как правило, число уравнений >100),но с весьма разряженной матрицей. Для их решения могут применяться прямые методы. В случае нелинейных систем пользуются итерационными процедурами.

[получаемая система решается подходящим методом]

Погрешность метода конечных разностей возникает при замене производных на конечно-разностные аналоги. Эта погрешность тем меньше, чем меньше назначен шаг h сетки узловых точек или, по-другому, чем больше число n.

16) Применение метода конечных разностей на примере решения краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) , x [a, b] (1)

п ри линейных граничных условиях третьего рода

(1a)

Где p(x) , q(x) , f(x) – непрерывные функции на отрезке [a,b]

Такая краевая задача называется линейной

Согласно 1 этапу введем на отрезке [a,b] систему из n узловых точек с постоянным шагом h:

i=0, 1,2 . . . n

Где = a , = b, n=(b-a)/h

Будем считать, что все переменные задачи определены только в узловых точках (дискретная постановка задачи)

Требуется найти значения в узловых точках. Согласно 2 эт первая и вторая производные, входящие в диф уравнения n приближенно заменяем конечно-разностными отношениями.

Д ля внутренних узлов будем иметь:

i=1.2,3, . . .,n-1 (2)

Для концевых узлов = a , = b полагаем:

(3)

Приближенно заменяем линейной системой алгебр уравнений

+ * + = i=1,2,3, . . .,n-1 (4)

К роме того, в силу формул граничные условия дополнительно дают еще 2 уравнения

(4a)

Получаем систему из n+1 линейных уравнений с (n+1) неизвестными

Систему (4) приведем к виду

(5)

Введем обозначения :

= (1+ ); ; ;

Получим:

i=1,2,3, . . .,n-1 (6)

Граничные условия(4a) также преобразуем к виду:

(6a)

Где [у меня что-то странное написано, посмотрите у себя в лекциях]

Перепишем систему следующим образом:

i=1,2,3, . . .,n-1 (7)

Согласно 3 этап необходимо решить данную систему линейных алгебраических уравнений ,каждое из которых содержит 3 соседних неизвестных

; ;

Для решения таких систем существует специальный метод, метод прогонки (модифицированный метод Гаусса) для систем с трехдиагональной матрицей коэффициентов.