2. Математические методы (методы вычислительной математики) в строительных расчетах. Примеры применения

Виды методов вычислительной математики:

1. Аналитический

2. Числовой

Числовой метод предполагает преобразование уравнений модели в соответствии с особенностями выбранного метода с целью получения рабочей программы для инженерного анализа.

Эти методы применяют в 3 видах задач:

• Краевой задачи для диф.уравнений

• Задачах линейной алгебры

• Задачах математического программирования

14. Краевые задачи для диф уравнений

Основные сведения и определения

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

F(x,y,y’,…,yⁿ)= 0, (1)

где F - известная функция, связывающая независимую переменную х, искомую функцию у(х) и ее производные вплоть до n-го порядка. Порядком обыкновенного дифференциального уравнения называется порядок старшей производной от искомой функции.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно имеет

вид

а_n(х)yⁿ + ... + а₁(х)y’ +а_о(х)у+f(х)=0. (2)

Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения

называется функция

у(х) = φ(х,с₁,...,с_n) (3)

связывающая независимую переменную х и п постоянных интегрирования. Для определения постоянных интегрирования задаются дополнительные условия. Их число равно числу постоянных интегрирования.

Если все доп. условия задаются только в одной точке х_0, то совокупность диф. уравнений и доп. Условий называют задачей Коши.

В этом случае доп. условия – начальные условия.

Если же доп. условия задаются при нескольких значениях независимой переменной х, то это краевая задача; доп. условия- граничные, краевые условия.

РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Краевая задача - это задача отыскания частного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Доп. условия задаются на краях отрезка

y ’’(x)=-f(x) a≤x≤b

y(a)= y(b)= y(0)

f(х) - внешняя изгибающая нагрузка на единицу длины оруны, деленная на упругость струны.

В задаче об изгибе горизонтальной балки длиной l, лежащей на двух опорах, под действием распределенной поперечной нагрузки с линейной плотностью q(x)

вертикальный статический прогиб приближенно удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

y’’(x)=M(x)/EJ(x) или (EJ(x)y’’(x))’’=-q(x) y(0)= y(l)= 0

EJ(x) - жесткость балки при изгибе; M(x) - изгибающий момент.

Для уравнений или систем высокого порядка, где число дополнительных условий больше двух, постановки краевых условий разнообразны. При этом возможны случаи, когда часть условий задана во внутренних точках отрезка [а, b]. Такие условия называют внутренними краевыми условиями.

Например, если упругая балка постоянной жесткости лежит в четырех точках х_i на опорах, то краевая задача ставится следующим образом

d⁴y/ d⁴x=-f(x); f(x)=q(x)/EJ ; a<х<b,

y(x_i) = 0 i= 1,2,3,4, a<x₁<x₂<x₃<x₄<b,

Методы решения таких задач делятся на 2 группы

1. Сведение решения краевой задачи к решению задач Коши(метод стрельбы)

2. Конечно-разностные методы.