25)Применение собственных значений матриц и собственных векторов в строительных расчетах. Постановка задачи и методы решения.

Система линейных уравнений имеет единственное значение лишь в том случае, если известен некоторый параметр – характеристический. В теории напряженного состояния тела, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют модули этих колебаний. При расчетах конструкций на прочность собственные значения позволяют определить критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости.

Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от типа уравнений и числа искомых собственных значений.

2 группы алгоритма решения:

-итерационные методы (для max и min собственных значений)

-методы преобразования подобия( для любых значений)

В общем виде задача на собственные значения формулируется: AX= λX, где А-матрица размерности n x n.

Требуется найти n скалярных значений λ и собственные векторы Х, соответствующие каждому из собственных значений.

Свойства собственных значений:

1. Все n собственных значений симметричной матрицы n x n, состоящей из действительных чисел, действительные

2. Если собственные значения матрицы различны, то её собственные векторы ортогональные

3. Если 2 матрицы подобны, то их собственные значения совподают

4. Умножив собственный вектор матрицы на скаляр, получим собственный вектор такой же матрицы. Обычно собственные векторы нормируют, разделив каждый элемент собственного вектора на его наименьший элемент.

26)Итерационный метод получения наибольшего собственного значения и соответствующего собственного вектора.

Исследуем трехосное напряженное состояние элемента тела. М-ца напряжений для него имеет следующий вид:

Z

σzz

ԏxy

ԏyz

ԏxx σyy

ԏxz ԏyx

ԏxy Y

σxx

X

Если исходить из того, что разделение тела произойдет при максимальном напряжении, то необходимо знать величину наибольшего главного напряжения, которое соответствует наибольшего собственному значению матрицы напряжений.

Решение ищется из матричного уравнения AX= λX.

Процедура начинается с пробного нормир. вектора X(0). Этот вектор умножается слева на матрицу A и результат приравнивается произведению постоянной и нормир. вектора X(1).

Если вектор Х(1) совпадает с вектором Х(0) в проделах заданной погрешности E, то счет прекращается. В противном случае новый нормированный вектор исп-ся в качестве исходного и вся процедура повторяется.

-Для вычисления наименьшего собственного значения.

Если умножить исходную систему AX= λX на матрицу А в степени -1, то получим А в -1АХ= λА в -1Х.

Обозначим 1/λ = S, тогда получим А в -1Х=SX.

Для данной матрицы находим наибольшее собственное значение S методом итераций.

Результат λ =1/S.