9.Понятие определителя квадратной матрицы,его свойства.

Каждой кавдратной матрице Am*n=An поставим в соот-е число,назовем его определителем квадратной матрицы /A/=det(A)=дельтаA. Это число вычисляется по след. правилу:

1)Если матрица состоит из одного числа,то ее определитель=самому числу

2)Определитель матрицы второго порядка-это разность произ-й диаг.элементов.

Опр-е.Пусть дана квадратная матрица порядка n,ее элементами явл-ся числа I и j. Минором эл. I и j наз-ся определитель MIj,полученный из определителя м.A,вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Опр-е.Алгебраическим дополнением aij квад. Матрицы Aij наз-ся число,равное Aij=(-1)^ij * Mij/

Свойства:

1.Определитель с нулевой строкой или нулевым столбцом=0.

2.При умнож.опред-ля на число K какая либо одна строка или один столбец умнож. на это число.

3.При транспон-и матрицы величина опред-ля не меняется.

4.При перестановке строк или столбцов величина опр-ля меняет свой знак на противоположный.

5.Опред-ль с двумя один. строками или двумя один. столбцами=0.

6.Опред-ль с двумя пропорц.строками(столбцами)=0.

7.Если эл-ты какой-либо строки(столбца) можно представить как сумму 2-ух слагаемых,то и сам опред-ль можно предст.как сумму двух опред-лей.

8.Величина опред-ля не меняется,если к эл-там одной строки прибавить соот. эл-ты другой строки умнож.на некоторое число.

9.Сумма произ-й эл-тов одной строки на алгебр.дополнение к эл-там др.строки матрицы=0.(ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0).

10.Опред-ль произ-я равен произ-ю определителей(/AB/=/A/*/B/).

10.Основная теорема об определителе.

Опред-ль квадр.матрицы равен сумме произ-й эл-тов любой строки или любого столбца на их алгебр.дополнение.

/A/=a1i*A1i+a2i*A2i+…+ani*Ani – равенство наз-ся разлож.опред-ля i-той строки; /A/=a1j*A1j+a2j*A2j+…+anj*Anj – равенство наз-ся разлож.опред-ля

j-того столбца.

11.Понятие обратной матрицы.Критерий существования обратной матрицы.

Опр-е:Квад-ая матрица наз-ся вырожденной,есил ее опред-ль=0.

Опр-е:Матрица B наз-ся обратной к квад-ой невырожд-ой матрице A^-1 (B=A^-1),если выполняется условие:

A*B=B*A=E,где E-единич.матрица.

Теорема о сущест-и обратной матрицы:Обратная мат. A^-1 сущ и единственна тогда и только тогда,когда мат.A-невырожденна.

Свойства обратной матрицы:

1.Обратная матрица к обр-ой матрице,есть сама мат.A, (A^-1)^-1=A.

2.Трансп-е обр-ой мат. дает мат.,обр-ую к тран-ой (A^-1)^T=(A^T)^-1

3.Возведение в степень m обратной матрицы приводит к мат-це.обр-ой к матрице A^m; (A^-1)^m=(A^m)^-1.

4.Опр-ль обр-ой мат. равен величине обр-ой к опр-лю /A^-1/=1:/A/.

5.При нахождении обр-ой мат. к произ-ю матриц A и B меняет порядок сомножителей (A*B)^-1=B^-1*A^-1.

12.Обратная матрица.Способы нахождения обратной матрицы.

Введем элементарное преобраз-е над матрицами:

1)перестановка строк;2)перестановка столбцов;3)умнож-е строки на число k;4)умнож-е столбца на число k;5)прибавление(вычитание) к эл.одной строки соот-щих эл. другой,умнож. на число k;6)прибавление(вычитание) к эл. одного столбца,соот-щих эл. другого столбца,умнож-е на число K.

Теорема о нахождении обратной матрицы.

A^-1=1:/A/*(Aij*)^T, где /A/-опред-ль исх. матрицы; (Aij*)-матрица,сост-ая из алгебр.дополнений к элементам мат.A.