1.Понятие арифм.Вектора. Операции над векторами.

N-мерным арифм.вектором называется упорядоченная совокупность n-действ.чисел; каждое число в этой совокупности наз-ся компонентой или координатой. Упорядоченность понимается в том смысле, что каждому числу в этой совок-ти присвоен номер.x=(x1,x2…xn),число n-наз-ся длиной вектора или его размером. Над множеством векторов введены следующие операции:

1.Два вектора x и y одинаковой размерности x=(x1,x2…xn),y=(y1,y2…yn),наз-ся равными, если равны их соот-щие коор-ты:x1=y1,x2=y2…xn=yn.

2.Суммой двух векторов одинаковой размерности x и y наз-ся новый вектор z=x+y,коор-ты которого есть суммы соот-щих коор. x и y: z1=x1+y1 ; z2=x2+y2 ; zn=xn+yn.

3.Умнож.вектора на число. При умножении вектора на число k*x,каждая коорд.вектора умнож-ся на это число (kx=kx1,kx2…Kxn)

4.Скалярное произ-е векторов (x;y);xy.СПВ-это число, равное сумме произ-й соот-щих коорд: xy=x1y1+x2y2+…xnyn

Нулевой вектор x+0=x.

2.Понятие линейного векторного пространства. Аксиомы векторного пространства.

1.Множество векторов это: совокупность однородных объектов, обладающих некоторым общим свойством.

2.Множество W элементов x,y,z-наз-ся линейным пространством, если по некоторому правилу:

1)Любым двум элементам x и y из множества W поставлен в соот-е элемент из множества W1 обозначаемый x+y и называемый суммой;

2)Любому элементу x из множ. W поставлен в соот-е элемент из множ. W1,обозначаемый (дельта x- ^x),называемый произведением числа x на x1,причем справедливы след.аксиомы лин.пространства:

1.x+y=y+x;

2.(x+y)+z=x+(y+z);

3.^(x+y)=^x+^y;

4.(^+M)x=^x+Mx;

5.^(Mx)=(^M)x;

6.Существует элемент, называемый единичный элементом такой, что выполняется правило:1*x=x;

7.Существует такой нулевой элемент, что 0+x=x;

8.Для каждого элемента x сущ-ет противоположный элем-т (-x) такой,что выполняется равенство x+(-x)=0;

Если элементами множ.W,которое удовл. двум правилам и 8 аксиомам, явл-ся вектора, то в этом случае множ.W наз-ся лин.век.простр.

3.Линейная зависимость и независимость векторов.Свойства линейно зависимости векторов.

Линейная зависимость векторов-любой вектор набора a1,a2…an может быть представлен как линейная комбинация остальных векторов набора. Рассм равенство:

c1a1+c2a2+…+cnan=0

c1a1=-c2a2-c3a3-…-cnan/:c1

a1=(-c2:c1)a2+(-c3:c1)a3+…+(-cn:c1)an

Это равенство показывает,что вектор a1 явл-ся линейной комбинацией оставшихся векторов.Аналогично можно представить все ост.векторы набора a1,a2…an.

4.Размерность векторного простр-ва.Базис векторного пространства.

Векторное пространство наз-ся n-мерным,если среди множ-ва его векторов найдётся n линейно независимых и любых n+1 векторов уже окажутся линейнозависимыми.

Опр-е. Упорядоченная совокупность n линейнонезависимых векторов n-мерного векторного пространства, наз-ся базисом этого пространства.

Рассм.простр-во R^2:

a=(a1a2)-множ.двумерных векторов.В этом простр-ве есть базис:

e1=(1,0);e2=(0,1); Т.к. базис-линнезав. сист.векторов,то любой вектор из простр-ва R^2 может быть представлен,как линейная комбинация базисных векторов.

Рассм. прост-во R^3:

e1=(1,0,0);e2=(0,1,0);e3=(0,0,1)----базис прост-ва R^3