2.15 Приведение формул к нормальным формам

Любую логическую формулу (кроме 0) можно привести к С.Д.Н.Ф. следующим образом:

1. Все не булевские операции заменить на булевские (&,  ,  ) c помощью равносильностей:

;  ; ;  ; .

2. Все отрицания "спустить" до переменных с помощью законов де Моргана.

3. Раскрыть скобки (дистрибутивность, ассоциативность).

4. Удалить лишние конъюнкции, повторения переменных в конъюнкциях и константы.

Для приведения к С.Д.Н.Ф:

5. Расщепить те конъюнкции, которые содержат не все переменные.

2.16 Минимизация д.Н.Ф.

Д.Н.Ф, содержащую минимальное число вхождений переменных, будем считать минимальной.

Приведем 2 наиболее простых метода минимизации Д.Н.Ф. функции:

1. Группировка: элементарные конъюнкции  ,  в ДНФ группируются в пары так, что после вынесения за скобку общего множителя K подформула   имела вид  или  . Далее заменяем   на эквивалентную ей конъюнкцию K.

Пример: 

.

2. Метод Блейка состоит в применении двух правил:

а) обобщенное склеивание – первое правило. С помощью формулы   производим операцию обобщенного склеивания в Д.Н.Ф. пока это возможно. Для этого в Д.Н.Ф. отыскиваем подформулы вида   и добавляем к ним  . На этом этапе формула усложняется.

б) поглощение – второе правило. Оно основано на равенстве

.

Находим в Д.Н.Ф. конъюнкции с минимальным числом сомножителей и все конъюнкции, их содержащие, вычеркиваем.

Пример:  .

Разумно в Д.Н.Ф. сначала применить метод группировки (как более простой), а затем метод Блейка.

2.17 Полные системы функций. Полином Жегалкина

Определение. Множество булевых функций называется полной системой, если любая булева функция может быть выражена через функции этого множества с помощью суперпозиции. Минимальная полная система называется базисом.

Примеры базисов:

— дизъюнктивный базис;

— конъюнктивный базис;

— базис Жегалкина;

— базис Пирса;

— базис Шеффера.

Определение Логическая функция, представленная над базисом   называется многочленом Жегалкина. Он имеет вид:

,

где константы  .

2.18 Функционально замкнутые классы функций

Ведем следующие классы Поста:

=  – Класс функций, сохраняющих 0.

=  – Класс функций, сохраняющих 1.

=  – Класс самодвойственных функций.

=  – Класс линейных функций.

=  – Класс монотонных функций.

Каждый класс Поста является функционально замкнутым, т.е. все функции, реализованные формулами над данным классом, также принадлежат данному классу.

Таблица принадлежности функциональным классам основных булевых функций:

					
				
				
					
					
					
					

Теорема. (Теорема Поста.) Для того, чтобы система булевых функций   была полной, необходимо и достаточно, чтобы для каждого из классов  ,  ,  ,  ,   нашлась функция   из системы, не принадлежащая данному классу.