1.6 Свойства операций над множествами

Объединение и пересечение:

1. =  – коммутативность

2. =  – коммутативность

3.  – ассоциативность

4.  – ассоциативность

5.   – дистрибутивность

6.   – дистрибутивность

7.  – идемпотентность

8.  – идемпотентность

9.  – свойство дополнения

10.  – свойство дополнения

11.  – закон де Моргана

12.  – закон де Моргана

13.  – свойство нуля

14.  – свойство нуля

Дополнение:

15.   – инволютивность

16. 

17. 

Разность, симметрическая разность:

18.

19.

20.

21.

22. 

23. 

1.7 Отношения

Определение. Пусть A и B произвольные множества. Декартовым произведением множеств A и Bназывается множество всевозможных упорядоченных пар, в которых первый элемент принадлежит множеству A, а второй – множеству B.

Пример.  – точки плоскости.

Свойства декартовых произведений

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Понятие отношения.

Отношение это один из способов задания взаимосвязей между элементами множества.

Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого-либо признака R у элемента множестваA. Например, "быть четным" на множестве натуральных чисел. Все элементы множества A, отличающиеся признаком R , образуют подмножество множества A, называемое отношением R.

Бинарные отношения

Бинарные (двуместные) отношения используются для определения взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов множеств A и B. Все пары   элементов множеств A и B, находящиеся в отношении R , образуют подмножество множества  .

Определение. Бинарное отношение – это тройка множеств  , где   – график отношения. Пишут   или aRb.

Область определения :  ;

Область значений: ;

Обратное отношение: ;

Композиция отношений   и  :

.

Частичным порядком (пишут  ), если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

1.8 Специальные бинарные отношения

Бинарное отношение   на A называется

1. Рефлексивным, если  ;

2. Симметричным, если  ;

3. Транзитивным, если  ;

4. Антисимметричным, если  ;

5. Отношением эквивалентности на   (пишут  ), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно;

Определение. Бинарное отношение  называется функцией из   в  , если   и .

Функция   называется

1. Сюръективной, если  ;

2. инъективной, если  ;

3. биективной, если она сюръективна и инъективна.

2.1 Высказывания

Определение. Высказывание – повествовательное утверждение, которое либо истинно либо ложно (не то и другое одновременно).

Примеры высказываний: "Тише едешь – дальше будешь", "Париж – столица Франции". Но "Как бы чего не вышло" или "Миру – мир" не являются высказываниями.

Определение. Высказывание называется простым (элементарным), если оно рассматривается как одно неделимое целое.

Определение. Сложное высказывание – высказывание, составленное из простых с помощью логических связок.

2.2 Логические связки (операции) над высказываниями.

Определение. Конъюнкцией ("и") высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба истинны. Обозначается   или PQ.  Таблица истинности:

P	Q	P&Q
л	л	л
л	и	л
и	л	л
и	и	и

Определение. Дизъюнкцией ("или") высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба ложны. Обозначается  .  Таблица истинности:

P	Q	P Q
л	л	л
л	и	и
и	л	и
и	и	и

Определение. Отрицанием ("не") высказывания P называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда P истинно. Обозначается   или  .  Таблица истинности:

P	 P
л	и
и	л

Определение. Импликацией высказываний P и Q называется высказывание, ложное, когда Pистинно, а Q ложно, и истинное во всех остальных случаях. Обозначается  .  Таблица истинности:

P	Q	P Q
л	л	и
л	и	и
и	л	л
и	и	и

Определение. Эквивалентностью высказываний P и Q называется высказывание истинное, когда истинностные значения P и Q совпадают, и ложное в противном случае. Обозначается   или .  Таблица истинности:

P	Q	P~Q
л	л	и
л	и	л
и	л	л
и	и	и

Определение. Неравнозначностью (сложение по модулю 2) высказываний P и Q называется высказывание истинное, когда истинностные значения P и Q различны, и ложное в противном случае. Обозначается  .  Таблица истинности:

P	Q	P Q
л	л	л
л	и	и
и	л	и
и	и	л