3.3. Прямая и обратная геодезические задачи
системах плоских
прямоугольных
координат
многие
инженерно-
геодезические расчеты основаны на формулах решения прямой и обратной геоде-
зических задач.
В прямой геодезической задаче известны горизонтальное проложение d
прямого отрезка 1-2 (рис. 3.6, а), его дирекционный угол α , координаты х1 и у1 на-
чальной точки 1. Требуется вычислить координаты х2 и у2 точки 2.
Сначала вычисляют приращения координат, равные катетам прямоугольного
треугольника 1-Е-2
∆х = d cos α = d cos r;
затем искомые координаты
х2 = х1 + ∆х;
∆у = d sin α = d sin r,
у2 = у1 + ∆у.
(3.10)
(3.11)
Знак приращений координат ∆х и ∆у
зависит от направления отрезка 1-2
(рис.3.4, б) и соответствует знаку cos α и sin α.
При вычислениях с использованием румба r (положительного числа) соответ-
ствующе значения ∆х и ∆у необходимо записывать со знаком “плюс” или “минус”
в соответствии с рис. 3.4, б.
Рис. 3.6. Прямая и обратная геодезические задачи:
а – прямая и обратная задачи; б – знаки приращений координат, дирекционные углы
и румбы при различных направлениях 1‒2
Пример 1. Вычислить координаты х2, у2 точки 2, если длина линии 1-2 d1-2 =
100,00 м, ее дирекционный угол α1-2 = 125° 20'; координаты точки 1: х1 = 500,00
м; у1 = 1000,00 м.
В
Р е ш е н и е . Для вычислений следует использовать дирекционный угол. Если
применить румб, то его значение r1-2 = ЮВ: (180° – α1-2 ) = ЮВ: 54°40'. Затем
находим ∆х = 100,00·cos 54° 40' = 57,83 м; ∆у = 100·sin 54° 40' = 81,58 м. Определив
знаки –∆х и +∆у для направления ЮВ (см. рис. 3.6, в) вычисляем х2 и у2:
х2 = 500,00 – 57,83 = 442, 17 м;
у2 = 1000,00 + 81,58 = 1081,58 м.
В обратной геодезической задаче по известным прямоугольным координатам
х1 и у1, х2 и у2 конечных точек отрезка прямой 1-2 (см. рис. 3.4, а) вычисляют гори-
зонтальное проложение d, румб r1-2 и дирекционный угол α1-2. Вначале вычисля-
ют тангенс румба (см. рис. 1,9, а):
tg r1-2 = ∆у / ∆х = (у2 – у1)/(х2 – х1),
(3.12)
а затем численное значение румба: r = arc tg (∆у / ∆х).
По знакам разностей (у2 – у1) и (х2 – х1) определяют название четверти румба (см.
рис. 3.4, б) и вычисляют дирекционный угол (см. табл. 1.3). Длину отрезка 1-2 на-
ходят по двум из следующих формул:
d = ∆х / cos α; d = ∆у / sin α; d = √ ∆х2 + ∆у2 .
(3.13)
Пример 2. Вычислить длину d1-2 и дирекционный угол α1-2 линии 1-2, если из-
вестны координаты точек 1 и 2: х1 = 200,00 м; у1 = 400,00 м; х2 = = 286,34 м; у2 =
349,54 м.
Р е ш е н и е . По формуле (3.12) рассчитаем tg r1-2 =
(349,54 – 400,00) /
(286,34 – 200,00) = – 50,46 / +86,34 = – 0,58443,
а также arc tg (∆у /∆х) = = –
30,299° = – 30° 17,9'. По знакам +∆х (к северу) и –∆у (к западу) найдем r1-2 = СЗ:
30° 17,9', затем дирекционный угол α1-2 = 360° – 30° 17,9' = 329° 42,1'. По форму-
лам (3.13) с контролем вычислим d1-2 = 86,34 / cos 329° 42,1' = 86,34 / cos 329,702°
= 86,34 / 0,86341 = 100,00 м;
контроль: d1-2 = √ 86,342 + 50,462 = 100,00 м.
ЛЕКЦИЯ № 4
Топографические карты и планы. Понятие о карте, плане, профиле.
Масштабы, их точность. Номенклатура
топографических карт