3.1. Понятие о зональной системе плоских прямоугольных координат

Как отмечено в лекции № 2, плоские прямоугольные координаты существенно

упрощают математическую обработку результатов измерений, выполненных на

земной поверхности. Но при этом необходимо проецировать измеренные величины

и геометрические элементы с поверхности эллипсоида на плоскость, что ведет к

неизбежным искажениям их формы и размеров. Понятно, что величины искажений

напрямую зависят от размеров территорий, на которых выполнены измерения. Для

ограничения искажений до пренебрежимо малых величин прямоугольные коорди-

наты используют на территориях соответственно ограниченных размеров, а боль-

шие территории отображают на плоскости по частям – по зонам.

Для территории бывшего СССР государственная зональная система прямо-

угольных координат была создана с применением конформной проекции Гаусса-

Крюгера.

Теория конформного изображения одной поверхности на другой (в частности –

эллипсоида на плоскости) и его использования в геодезических целях была разра-

ботана в 1820 – 1830 г.г. Ф. Гауссом. Немецкий геодезист Л. Крюгер в 1910-1912

г.г. опубликовал применение этой теории в практике расчета плоских прямоуголь-

ных координат в геодезии. Поэтому система координат, полученных на основе тео-

рии конформных преобразований Гаусса называют системой координат Гаусса−

Крюгера. Эта система, принятая в России, странах СНГ и ряде других государст-

вах, отвечает следующим условиям:

· изображение поверхности эллипсоида на плоскости является конформным

(условие конформности – на бесконечно малых площадках в проекции со-

храняется подобие фигур, равенство углов и расстояний по всем направле-

ниям);

· осевой меридиан и экватор в плоскости проекции изображаются прямыми

линиями и пересекаются под прямым углом;

· масштаб изображения осевого меридиана на плоскости проекции постоянен

и равен единице;

· начало координат в плоскости проекции совпадает с точкой пересечения

осевого меридиана и экватора, которые и принимаются соответственно как

оси абсцисс и ординат.

Наглядность образования координатных зон в проекции Гаусса-Крюгера пояс-

няется рисунком 3.1. Представим себе эллиптический цилиндр, который касается

эллипсоида по меридиану, называемому осевым, и математическим путем спрое-

цируем на его поверхность фрагмент эллипсоида, заключенный между граничными

меридианами и, следовательно, вытянутый между полюсами (рис. 3.1, а). Разрезав

цилиндр вдоль образующей и развернув его поверхность в плоскость, получим

изображение зоны (рис. 3.1, б), на котором осевой меридиан и экватор окажутся

взаимно перпендикулярными. На основание такой схемы проекцию Гаусса-

Крюгенра относят к классу поперечно-цилиндрических картографических проек-

ций.

)

.

а

)

б

Рис. 3.1 Проецирование поверхности планеты на касательный цилиндр (а), раз-

вертка которого дает проекции зон (б)

Современные 6-градусныы зоны (рис. 3.2, а, б) образованы меридианами, про-

ходящими между полюсами земного эллипсоида. Зоны пронумерованы с 1-й по

60-ю от Гринвичского меридиана на восток. Каждая

сфероидическая

зона

ма-

тематически проецируется на плоскость (рис. 3.2, б, в). Изображения восточной

и западной частей зоны симметричны относительно осевого меридиана (см. рис.

3.2, г). В восточной части зоны ординаты положительны, в западной – отрицатель-

ны. Плоские прямоугольные координаты х и у точек проекции вычисляются по

геодезическим широте В и долготе L.

Рис. 3.2. Зональные плоские прямоугольные координаты:

а – 6-градусные зоны на референц-эллипсоиде; б – в проекции на плоскости; в – северная

часть зоны №3; г – изображение 6-градусной зоны эллипсоида на плоскости; д – геодезические

координаты точки К и элементы ее прямоугольных координат в проекции Гаусса-Крюгера (1 –

осевой меридиан (ось Х ) с долготой L0 = 15º; Мгр – граничный меридиан зоны; 2 – изображения

граничных меридианов зоны; 3 – изображения параллелей)

На рис. 3.2, д показан участок северо-восточной части зоны № 3. По рисунку

рассмотрим сущность искажений сфероидической поверхности при ее изображе-

нии на плоскости в данной проекции. Например, в проекции меридианы и парал-

лели изображаются плоскими кривым, которые пересекаются под прямыми углами,

при этом видно, что абсциссы точек параллели изменяются при удалении от осево-

го меридиана.

В примере рис. 3.2, д на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера точка К нахо-

дится на пересечении изображений параллели широтой ВК и меридиана с долго-

той LК . Абсцисса и ординаты точки К вычисляются по ее геодезическим координа-

там ВК и LК, по формулам (3.1)

хк = хК ,О + f1(В; L);

ук = уК ,О + f2(В; L)–,

где хК,О – абсцисса параллели в точке КО пересечения с осевым меридианом;

f1(В; L)– приращение абсциссы на кривизну изображения меридиана на его отрезке

l;

f2(В; L) – линейная и нелинейная составляющие расчетной ординаты.

При проецировании элементов эллипсоида на плоскость проекции с учетом ус-

ловия конформности масштаб m изображения точек изменяется в зависимости от

ординаты у, т.е их удалений от осевого меридиана, согласно формуле

 2R 2 24R 4 ... .

(3.2)

Таким образом, длины конечных отрезков при проецировании увеличиваются и

получают поправку, величину которой с необходимой для практических нужд точ-

ностью можно вычислить по следующей формуле:

SПР Sm≈ S

y 2

2R 2

(3.3)

гдеПР – искажение длины линии, обусловленное проецированием эллипсоида на

плоскость; S – ее длина на эллипсоиде; y – среднее удаление ее концов от осевого

меридиана; R – средний по линии радиус кривизны эллипсоида.

На средней широте Беларуси (В ≈ 53º) ширина 6-градусной зоны равна │2у│≈

2×200 км. Для оценочного расчета искажений примем R = 6371 км, тогда при у =

200 км максимальное значение масштаба проекции на краю зоны

mу = 1 +

0,0004927 = 1 + 1/2030, а искажение линии на проекцию δs = +S×0,0004927 =

+S×(1/2030). Такие искажения не учитывают при составлении топографических

карт масштабов 1:10 000 и мельче, но при крупномасштабных съемках поправки

δd в длины линий величиной S(1/2000) необходимо учитывать.

Расчеты координат точек в проекции Гаусса-Крюгера для симметричной запад-

ной части зоны аналогичны, но здесь ординаты точек отрицательны. Для удобства

практического применения зональных координат применяют только положитель-

(3.1)

 y 2 y 4

m 1m≈ 1







,

.

ные преобразованные ординаты, для чего все значения у увеличивают на 500 км.

Перед преобразованной ординатой указывают номер зоны. Например запись уЕ =

3 415 270 м означает, что точка Е расположена в 3-й зоне к западу от ее осевого

меридиана, поскольку действительная зональная ордината (уЕ)д = 415 270 –

500 000 = – 84 730 м.

На краях 6-градусной зоны относительные искажения линий до 1/2000 могут

быть недопустимыми для точных геодезических работ. В таких случаях применя-

ют 3-градусные координатные зоны (рис. 3.3), а при необходимости уменьшить

рассматриваемые искажения до пренебрегаемо малых значений на малых террито-

риях проекцию Гаусса-Крюгера используют с частным осевым меридианом, прохо-

дящим вблизи центра территории города или крупного предприятия, или же ис-

пользуют местную систему плоских прямоугольных координат без применения

картографической проекции (когда можно пренебречь кривизной Земли).

Рис. 3.3. Координатные зоны в

проекции Гаусса-Крюгера и долгота их

осевых меридианов (фрагмент)

Осевые меридианы 3-градусных зон совпадают с граничными и осевыми мери-

дианами шестиградусных зон (см. рис. 3.3).

Счет зон ведется на восток от Гринвича; долготы осевых меридианов 6-градусной

(L6) и 3-градусной (L3) зон вычисляются по их номерам (N6 или N3), по следующим

формулам:

L6 = 6° N6− 3°, L3 = 3° N3.

Координатные системы в каждой зоне устанавливаются одинаково.