15.1. Геометрические способы определения площади

К геометрическим способам определения площади относятся графические (по

чертежам местности) и аналитические (расчетные по координатам контура терри-

тории).

Графические способы определения площади применяются для небольших уча-

стков. На местности (рис. 15.1, а) сложный контур АВСDЕК разделяют на простые

геометрические фигуры, вершины которых обозначают вехами. В трапеции АВЕК

измеряют основания а и b, высоту h, а в треугольниках ВСD и ВDЕ измеряют ос-

нования а1 и а, высоты h1 и h. Площадь участка Р = Р1 + Р2 + Р3, где Р1 = h (а

+ b)/2; Р2 = а1 h1 /2; Р3 = а h2 /2.

Если треугольнике (рис. 15.1, б) измерить две стороны и угол β между ними, то

Р = 0,5ас sin β.

Площадь определяется рассмотренными способами с относительной погреш-

ностью 1 / 1000 – 1/5000.

Рис. 15.1. Геометрические способы определения площадей:

а, б – измерением геометрических фигур; в – с помощью палетки;

г – по координатам

Аналогичные способы можно применить для графического определения площа-

ди по плану масштаба 1 : М, но с относительной погрешностью 1/50 – 1/1000, зави-

сящей от масштаба и точности плана. С помощью карандаша и линейки контур

АВСDЕК (см. рис. 15.1, а) разграфляют на плане на простые фигуры, а их площади

в нашем примере будут вычисляться по формулам, приведенным выше, или по

формулам Р1 = М2 h (а + b)/2; Р2 = М2 а1 h1 /2; Р3 = М2 а h2 /2. Линейные величины

а, b и h определяются по плану с погрешностями до 0,5 мм за счет неточностей изо-

бражения границ общего контура.

Площадь по плану или карте можно определить при помощи палетки, представ-

ляющей прозрачный лист пластика, на который нанесена сетка равных по площади

фигур, например квадратов со стороной от 2 до 10 мм (рис. 15.1, в). Техника опре-

деления площади палетками рассмотрена в п. 15.4.

15.2. Аналитический способ определения площади

Аналитические способы определения площади применяют для замкнутых пло-

ских многоугольников, в которых известны координаты х и у всех вершин (к таким

многоугольникам относятся граница населенного пункта, промышленного, сель-

скохозяйственного или горно-добывающего предприятия, контур лесного массива,

озера, болота и т.д.).

Площадь замкнутого многоугольника вычисляют по различным формулам ана-

литической геометрии, наиболее распространены следующие:

n

n

2Р = ∑ х i (уi+1 – уi-1);

i

2Р = ∑ у i (хi-1 – хi+1); i = 1, 2, …, n,

i

(15.2)

т.е. удвоенная площадь многоугольника равна сумме произведений каждой абсцис-

сы на разность ординат передней и задней по ходу точек, а также сумме произведе-

ний каждой ординаты на разность абсцисс задней и передней по ходу точек. На-

пример, для многоугольника 1-2-3-4 (рис. 15.1. г)

2Р = х1 (у2 – у4) + х2 (у3 – у1) + х3 (у4 – у2) + х4 (у1 – у3);

(15.3)

2Р = у1 (х4 – х2) + у2 (х1 – х3) + у3 (х2 – х4) + у4 (х3 – х1);

Площадь вычисляют отдельно по каждой формуле (15.3) с промежуточным

контролем разностей координат на условие

n

n

∑(уi+1 – уi-1) = 0; ∑(хi-1 – хi+1) = 0,

i

i

i = 1, 2, …, n.

(15.4)

Точность расчетов по формулам (15.4) определяется погрешностями коорди-

нат. Например, если координаты вершин многоугольника получены теодолитным

ходом, то площадь участка получается с относительной погрешностью 1/500 –

1/2000. В случае неверно записанного значения хотя бы одной из координат хi или

уi получается ошибочное значение площади при полном совпадении результатов

расчетов по формулам (15.3) и (15.4). Такую ошибку можно обнаружить, например,

по чрезмерному расхождению между площадью многоугольника и суммой площа-

дей контуров внутри него, нанесенных на план и измеренных планиметром.