13.5.2. Обратная угловая засечка
Обратной угловой засечкой называют способ определения координат точки P
по двум
углам β1 и β2, измеренным на определяемой точке P между на-
правлениями на три пункта
A, B, C с известными координатами (рис.
13.9).
Графическое решение. Приведем способ Болотова графического решения об-
ратной засечки. На листе прозрачной бумаги (кальки) нужно построить углы β1 и
β2 с общей вершиной P; затем наложить кальку на чертеж и, перемещая ее, добить-
ся, чтобы направления сторон углов на кальке проходили через пункты A, B, C на
чертеже; затем переколоть точку P с кальки на чертеж.
Аналитическое решение. Аналитическое решение обратной угловой засечки
предусматривает ее разложение на более простые задачи, например, на 2 прямых
угловых засечки и одну линейную, или на 3 линейных засечки и т.д. Известно бо-
лее 10-ти способов аналитического решения, но мы рассмотрим только один - че-
рез последовательное решение трех линейных засечек.
Предположим, что положение точки P известно, и проведем две окружности:
одну радиусом R1 через точки A, B и P и другую радиусом R2 через точки B, C и P
(рис. 13.9).
Радиусы эти равны
R1 = b1 / 2 sin β1;
R2 = b2 / 2 sin β2;
(13.15)
Если координаты центров окружностей - точек O1 и O2 будут известны, то ко-
ординаты точки P можно определить по формулам линейной засечки: из точки O1
по расстоянию R1 и из точки O2 ‒ по расстоянию R2.
Рис. 13.9. К теории обратной угловой засечки.
Координаты центра O1 можно найти по формулам линейной засечки из точек A
по расстояниям R1, причем из двух решений нужно взять то, которое
соответствует величине угла β1: если β1 > 90º, то точка О1 находится справа от
линии АВ, если β1 < 90º, то точка О1 находится слева от линии АВ.
Приведем без вывода следующие известные формулы (13.16) последователь-
ности решения обратной угловой засечки
определению
координат
пункта Р согласно схеме рис. 13.10 относительно исходных пунктов 1, 2, 3.
Рис. 13.10. Обратная угловая засечка к формулам (13.15)
Формулы (13.16) используются в такой последовательности:
1.
tg α1 =
(Y2 – Y1) ctg β1 + (Y1 – Y3) ctg β2 + (Х3 – Х2)
;
(Х2 – Х1) ctg β1 + (Х1 – Х3) ctg β2 ‒ (Y3 – Y2)
α2 = α1 + β1;
α3 = α2 + β2;
3. (ХР – Х3) = [(Х1 – Х3) tg α1 ‒ (Y1 – Y3)] / (tg α1 ‒ tg α2);
(ХР – Х1) = [(Х1 – Х3) tg α3 ‒ (Y1 – Y3)] / (tg α1 ‒ tg α3);
5. (YР – Y3) = [(ХР – Х3) tg α3; (YР – Y1) = [(ХР – Х1) tg α1;
Контроль: tg α2 = (Y1 – Y3) / (Х2 – Х1).
(13.16)
и B
по
2.
4.
6.
