13.5. Геодезические засечки

13.5.1. Полярная засечка

В полярной засечке (рис. 13.6) исходными данными являются: координаты XA,

YA пункта A и дирекционный угол αAB направления AB, измеряемыми элемената-

ми являются горизонтальный угол β (средняя квадратическая погрешность изме-

рения угла mβ) и расстояние S, относительная погрешность его измерения mS / S

= 1 / T ), искомые элементы ‒ это координаты X, Y точки P.

;

.

Решение производится по формулам прямой геодезической задачи.

Рис. 13.6. Полярная засечка

Сначала рассмотрим так называемый общий случай прямой угловой засечки,

когда углы β1 и β2 измеряются на двух пунктах с известными координатами, ка-

ждый от своего направления с известным дирекционным углом αАС и αBD (рис.

13.7).

Рис. 13.7. Прямая угловая засечка

общий случай

Исходные данные: координаты пунктов А и В ‒ ХА, YА; ХВ, YВ; дирекцион-

ные углы αАС и αBD.

Измеряемые величины: углы β1 и β2;

Искомые элементы: координаты ( X P, YP) точки Р.

Решения. Возможны графическое и аналитическое решения

Графическое решение. На масштабированном чертеже от направления AC сле-

отложить с помощью транспортира угол β1 и провести прямую

линию AP; от направ-

ления BD отложить угол β2 и провести прямую

линию BP ; точка пересечения этих прямых является искомой точкой P.

дует

Аналитическое решение. Приведем алгоритм варианта, соответствующий об-

щему случаю засечки:

1. Вычислить дирекционные углы αСА и αDВ линий СA и DВ:

αСА = arc tg (YА ‒YС) / (ХА ‒ ХС);

αDВ = arc tg (YВ ‒YD) / (ХВ ‒ ХD);

(13.8)

(13.9)

2. Вычислить дирекционные углы линий АР и ВР

α1 = αСА + β1 - 180°; α2 = αDВ + β2 + 180°;

3. Написать два соотношения согласно приращениям координат

- для линии AP: Y – YA = tg α1· ( X ‒ XA ),

(13.10)

- для линии BP: Y – YВ = tg α2· ( X – XВ).

4. Вычислить искомые координаты точки Р

Х = ХА + [(YВ ‒YА) ‒ (ХА ‒ ХС) tg α2 ] /(tg α1 ‒ tg α2);

(13.11)

Y = YА + ( X – XА) tg α1.

Частным случаем прямой угловой засечки считают тот случай, когда углы β1

и β2 измерены относительно направлений AB и BA базиса АВ (рис. 13.8)

Рис. 13.8. Прямая угловая засечка от базиса

Для данного случая прямой угловой засечки порядок решения при этом будет

такой:

1. Решить обратную задачу между пунктами A и B и получить дирекционный

угол αAB и длину линии АВ.

2. Вычислить угол γ при вершине P, называемый углом засечки,

γ = 180º ‒ ( β1 + β2) .

3. Используя теорему синусов для треугольника APB имеем:

b/ sinγ = S1 / sin β2 = S2 / sin β1,

(13.12)

(13.13)

вычисляем длины линий S1 = (b/ sinγ) sin β2; S2 = (b/ sinγ) sin β1.

4. Находим дирекционные углы линий АР и ВР

α1 = αАВ – β1; α2 = αВА + β2 ‒ 360º.

(13.14)

5. Решая прямые задачи от пунктов А и В к пункту Р дважды находим его ко-

ординаты.