2.3. Расчет влияний кривизны Земли при замене участка сферы
плоскостью
2.3.1 Влияние кривизны Земли на проецирование расстояний
Как уже отмечено, небольшой участок сферической поверхности при опреде-
ленных условиях можно принять за плоскость. Применение модели плоской по-
верхности при решении геодезических задач возможно лишь для небольших участ-
ков поверхности Земли, когда искажения проекции, вызванные заменой поверхно-
сти сферы или эллипсоида плоскостью невелики и могут быть вычислены по
простым формулам.
Рассчитаем, какое искажение получит дуга окружности, если в центральной
проекции получить ее изображение на плоскости, касательной к сфере. На рис. 2.6,
а точка O ‒ центр сферы (в данном сечении сферы точка O ‒ центр окружности
Т0G0); дуга ТоСо радиусом R стягивает центральный угол α. Проведем касательную
плоскость ТоС1 к сфере в точке Т0.
Согласно рис. 2.6, а расстояния D и S между проекциями точек Т и С на плос-
кость (точки Т0 и С1) и на сферу (точки Т0 и С0) различаются за
кривизны Земли на абсолютную величину
счет
фактора
∆S = D – S = R tg α – S,
(2.2)
где угол α = S / R выражен в радианах.
Используем разложение tg α в ряд, ограничиваясь двумя первыми его членами,
т.е.
tg α = α + α3 / 3 + …
(2.3)
Подставив в формулу (2.2) значение (2.3) и приняв во внимание, что α = S / R,
после преобразований находим
∆S = S3 / 3R2.
(2.4)
Относительная характеристика ∆
чается из формулы (2.4):
/ S значимости разности длин D и S полу-
∆S / S = S2 / 3R2.
(2.5)
Рис.2.6. Учет кривизны уровенной поверхности:
а – при измерении расстояний и превышений; б при строительстве тоннелей;
→N← ‒ направления сточных вод внутрь прямолиненйного тоннеля М1Т1;
←B→ ‒ сток вод от возвышенной средней части тоннеля
Определим на сферической поверхности размеры участка, в пределах которого
можно не учитывать влияние фактора кривизны при условии, что допускается от-
носительная величина искажения длины ∆S / S = 1 / 1 000 000 (1 мм / 1 км). Решив
уравнение (2.2) получаем S = D = 11 км – радиус участка, который отвечает по-
ставленному условию. Если принять иную величину допуска, например ∆S / S=
1 / 200 000 (5 мм / 1 км), то плоским можно считать участок на сферической и уро-
венной поверхности радиусом 25 км.
2.3.2. Влияние кривизны Земли на определения превышений
Фактор кривизны Земли учитывается также при измерении превышений между
точками на плоскости. Определим расстояния, при которых необходимо учитывать
соответствующие поправки в превышения. При рассмотрении данного вопроса
используем шаровую модель Земли.
Пусть точки Т0 и С0 – вертикальные проекции точек Т и С поверхности Земли
на сферу по радиусам R = ТО и R = СО (см. рис. 2.6, а). В точке Т0 проведем го-
ризонтальную линию Т0С1 – касательную к сфере. Точка С1 представляет верти-
кальную проекцию точки С на касательную Т0С1, а вертикальное расстояние C0С1 =
∆h выражает влияние фактора кривизны на высоту точки, определяемой на мест-
ности относительно горизонтальной плоскости. Из треугольника ОТ0С1 следует,
что
или
(R + ∆h)2 = R2 +D2
R2 + 2R ∆h + (∆h)2 = R2 +D2.
(2.6)
(2.7)
В последнем выражении примем слагаемое (∆h)2 = 0 по его малости в сравне-
нии другими слагаемыми и заменим D на S по незначительности их расхождения
на ограниченных расстояниях, тогда 2R·∆h = S2, откуда
∆h = S2 / 2R.
(2.9)
Для различных расстояний S при R = 6371 км по формуле (2.7) вычислим зна-
чения ∆h и получим следующие результаты (табл. 2.3). Влияние кривизны Земли
на значения измененных превышений учитывают в зависимости от точности геоде-
зических работ.
Таблица 2.3
Влияние фактора кривизны Земли на превышения в зависимости
от расстояний S между точками
S, км
∆h, мм
0,1
0,78
0,2
3,1
0,3
7
0,5
20
1
78
2
314
10
7800
Примечание: в формулах (2.4) и (2.7) не учтена средняя высота Н точек Т и С
земной поверхности над поверхностью относимости – земного шара. Студенту ре-
комендуется самостоятельно оценить значимость фактора высоты Н, приняв ради-
ус поверхности равным (R + Н), при Н = 0,2; 0,5 и 1,0 км.