7.5. Исходные положения математической обработки

результатов неравноточных измерений

Понятие веса результатов однородных измерений. Если одна и та же вели-

чина измерялась в условиях неравноточности (см. п. 7.1), то совместная математи-

ческая обработка результатов измерений должна выполняться с учетом их относи-

тельной надежности, которая характеризуется весом данного результата. Понятно,

что результат измерения будет тем надежнее, чем меньше его ошибка. Поэтому под

весом р результата измерения понимают величину, обратно пропорциональную

квадрату средней квадратической погрешности m данного результата, которую

вычисляют по формуле

р = с / m2,

(7.40)

где с – произвольная постоянная, значение которой выбирают так, чтобы веса были

близкими к единице, что упрощает вычисления.

Обозначим через Р вес среднего арифметического, а через р – вес отдельного

результата равноточных измерений, тогда с учетом формулы ((7.31) Р = с / М2 = с /

(m2 : n), где согласно (7.40) с = р m2, откуда

Р/р = n;

Р = р n,

(7.41)

следовательно, вес среднего арифметического в n раз больше веса отдельного ре-

зультата равноточных измерений.

Среднее весовое. Пусть некоторая величина измерена неравноточно, а резуль-

татам измерений l1, l2,…, ln соответствуют веса р1, р2, …, рn, тогда среднее весовое

или вероятнейшее значение среднего результата вычисляется по формуле

l1 р1 + l1 р1 +… + l n р1

n

n

L0 =

= ( ∑ l1 р1) / ( ∑ р1).

(7.42)

р1 + р2 +…+ рn

1

1

Пример 6. Пусть l1 = 103,0; l2 = 103,8; р1 = 2; р2 = 4. Требуется вычислить

среднее весовое значение L0.

Р е ш е н и е. L0 = 100 +(3,0×2 + 3,8×4)/(2 + 4) = 103,53. Изменим веса, разделив

их р1, получим р'1 = 1; р'2 = 2 и убедимся, что результат L0 = = 103,53 не изме-

нился.

Частный случай среднего весового. Если каждый результат li получен с одина-

ковым весом рi = р, то такие измерения равноточны и формула (7.42) принимает

вид формулы (7.7) среднего арифметического.

Оценка точности результатов неравноточных измерений. В формуле (3.40)

примем р = 1, тогда с = m2i. Значение с при безразмерном р = 1 называется средней

квадратической погрешностью единицы веса и обозначается через µ. В соответст-

вии с формулой (7.40) напишем соотношение

μ2 / m2i = рi ,

откуда

μ = mi √ рi .

(7.43)

При оценке точности результатов неравноточных измерений вычисляют их

среднее весовое L0 по формуле (7.42), отклонения отдельных результатов от сред-

него весового δi = li – L0 и среднюю квадратическую погрешность единицы веса:

.

.

n

μ =√

(δ21

р1 +

δ22

р2 +…+

δ2n

рn)/(n - 1) =

(∑δ2i рi)/ (n–1),

(7.44)

.

1

Средняя квадратическая погрешность величины L0

где

n

∑ рi –

1

М0 = μ /

вес значения L0.

n

∑ рi ,

1

(7.45)