7.2. Погрешности измерений, их классификация. Свойства

случайных погрешностей. Погрешности измерений

В процессе измерений взаимодействуют: субъект, средство, метод, объект и

внешняя среда – факторы, влияющие на точность измерений. Погрешность измере-

ний определяется их точностью, чем выше точность измерений, тем меньше их по-

грешности. Анализируя погрешности, оценивают правильность процесса измере-

ний, вычислительной обработки данных и точность конечного результата. По-

грешности геодезических измерений зависят от метрологических показателей

средств измерений (класса точности, правильности юстировки и настройки), усло-

вий внешней среды (рефракции, условий погоды, силы ветра, уровня вибрацион-

ных помех и т.д.). Квалификация наблюдателя также влияет на точность измере-

ний.

В зависимости от изменчивости воздействий указанных факторов на условия

измерений, их погрешности будут переменными по величине и по знаку, но могут

содержать и переменные погрешности одного знака. С учетом этого измерения

различают на равноточные и неравноточные.

Равноточными считают измерения однородных величин, выполненные при

помощи приборов одного класса точности, одним и тем же способом, в сходных

условиях внешней среды, выполненные специалистами равной квалификации.

К неравноточным относят измерения однородных величин, выполненные с

нарушением хотя бы одного из перечисленных условий (например, измерения, вы-

полненные приборами разного класса точности или по различным методикам).

Истинная абсолютная погрешность (ошибка) ∆ вычисляется как разность ре-

зультата измерения l и точного (истинного) значения Х измеряемой величины

Δ= l – Х .

(7.1)

Относительная погрешность – безразмерная величина, выражается обыкно-

венной дробью с единицей в числителе и указывает, какую часть составляет абсо-

лютная погрешность от измеряемой величины:

1 / Т = Δ / l = 1 / ( l : Δ),

(7.2)

где Т = l : ∆ – знаменатель относительной погрешности.

Если, например, истинное значение длины отрезка L = 100,10 м, то результа-

ты измерений l1 = 100,15 м и l2 = 100,08 м характеризуются

абсолютными

ис-

тинными

погрешностями

∆1 = + 0,05 м и ∆2 = – 0,02 м и относительными по-

грешностями 1/Т = 1 / (100,10 : 0,05) ≈ 1 / 2000 и 1 / (100,10 : 0,02) ≈ 1 / 5000.

Классификация погрешностей измерений. При производстве измерений,

как правило, истинное значение измеряемой величины неизвестно. В этих случаях

для оценки точности результатов измерений применяют методы математической

статистики при наличии избыточных измерений. При этом, чем больше число из-

быточных измерений, тем надежнее результаты оценки их точности. Погрешности

квалифицируют как случайные, систематические и грубые, а также равноточные и

неравноточные..

Случайная погрешность – возникает как сумма различных составляющих, не

связанных между собой в каждом отдельном результате измерений и подчиняется

определенным вероятностно-статистическим закономерностям.

Систематическая погрешность – характеризуется некоторым постоянным

значением или подчиняется вполне определенной закономерности. Источником

систематической погрешности может служить неучтенное отклонение цены деле-

ния мерного прибора или отсчетного приспособления от принятых единиц измере-

ний, недостаточная юстировка прибора, неучтенное влияние внешней среды и др.

Такие погрешности выявляют в результате исследований, компарирования и эта-

лонирования измерительных приборов и вносят в виде поправок в результаты из-

мерений. Полностью исключить систематические погрешности невозможно, их

можно свести к определенному минимуму, оставшуюся часть обычно стремятся

свести к случайным погрешностям методикой измерений.

Грубая погрешность (промах) - возникает из-за просчетов при измерениях, не-

исправности прибора, его неустойчивости и др. Такие погрешности выявляют по

соответствующим признакам при наличии избыточных измерений и ликвидируют

повторными измерениями после устранения причин ошибки.

На практике создают условия для устранения и минимизации систематических

и грубых погрешностей измерений. При этом принимают, что остается влияние

лишь случайных погрешностей, которые анализируют и учитывают при оценке ка-

чества и точности получения конечных геодезических данных.

Статистические свойства случайных погрешностей равноточных измере-

ний. Случайные погрешности большого ряда результатов равноточных измерений

одних и тех же (или сходных) величин в статистическом отношении являются сум-

мой множества отдельных случайных погрешностей. И если эта сумма по абсо-

лютной величине остается того же порядка, что и ее отдельные слагаемые, то она

носит случайный характер, отвечает требованиям центральной предельной теоре-

мы Ляпунова по нормальному (Гауссову) закону ее распределения. Множество од-

нородных случайных погрешностей геодезических измерений, как правило, подчи-

няется закону нормального распределения, графически отображенному на рис. 7.1

и характеризуется следующими свойствами.

1. Свойство ограниченности выражается в том, что в данных условиях изме-

рений случайные погрешности ∆ не могут превзойти по модулю некоторую пре-

дельную погрешность, например 3m.

2. Свойство дифференциации: малые по модулю погрешности появляются ча-

ще, чем большие.

Рис. 7.1. График нормального распределения случайных

погрешностей ±∆:

n i – число случайных погрешностей величиной ∆ i

3. Свойство симметричности и компенсации: равные по модулю отрицатель-

ные и положительные погрешности возникают одинаково часто, поэтому при неог-

раниченном числе n измерений одной и той же величины среднее арифметическое

из случайных погрешностей стремиться к нулю, т. е.

n

lIm (Δl + Δ2 + ... +Δn)/n = lIm(1/n)∑Δi = 0,

n→∞

n→∞

i = 1, 2, …, n;

(7.3)

4. Свойство предела рассеивания: для неограниченного числа измерений сред-

нее арифметическое из квадратов случайных погрешностей стремится к пределу:

1

lIm

(Δ2l

+

Δ22

+ ...

+Δ2n)/n

n

= lIm(1/n)∑Δ2i = m2, i = 1, 2, …, n.

(7.4)

n→∞

n→∞

m2 называется дисперсией и представляет собой одну из важнейших

характеристик разброса случайных погрешностей ∆ i , как и другая характеристика

разброса – стандарт m или среднее квадратическое отклонение (ошибка), равная

m =

m2

(7.5)

Значения m используют как один из статистических показателей погрешностей

результатов множества однородных измерений.

5. Свойство независимости. Если произведены два ряда однородных измере-

ний и получены два ряда независимых случайных погрешностей: ∆'1, ∆'2,…,∆'n; и

∆"1, ∆"2, …, ∆"n, то попарные произведения их величин ∆'i∆"i тоже обладают всеми

свойствами случайных погрешностей и в соответствии со свойством 3 сумма таких

произведений стремится к нулю

n

lIm(1/n)∑(Δ'i Δ"i) = 0,

n→∞

-11

i = 1, 2, …, n.

(7.6)