БИЛЕТ № 1.

Векторное произведение векторов.

Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где  - угол между векторами и ,

2) вектор ортогонален векторам и

3) , и образуют правую тройку векторов.

Обозначается: или .

Свойства векторного произведения векторов:

1) ;

2) , если  или = 0 или = 0;

3) (m ) = (m ) = m(  );

4) ( + ) =  +  ;

5) Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

 =

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),

С(0, 1, 0).

(ед²).

Пример. Доказать, что векторы , и компланарны.

, т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны.

Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

(ед²).

БИЛЕТ № 2

взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

В этой системе плоскость и прямая описаны соответствено уравнениями

Ax + By + Cz + D = 0 и

Здесь A2 + B2 + C2 ≠ 0, A12 + B12 + C12 ≠ 0, A22 + B22 + C22 ≠ 0,

Взаимное расположение прямой и плоскости определяется множеством решений линейной системы

Прямая параллельна плоскости тогда и только тогда, когда система не имеет решений, т.е. когда определитель матрицы системы равен нулю,

Прямая пересекает плоскость в одной точке тогда и только тогда, когда система имеет единственное решение, т.е. когда определитель матрицы системы отличен от нуля,

Прямая принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда система имеет бесконечное множество решений, т.е. когда

Или

Плоскость и прямая описаны соответствено уравнениями

Ax + By + Cz + D = 0 и

здесь A2 + B2 + C2 ≠ 0, A12 + B12 + C12 ≠ 0 и A22 + B22 + C22 ≠ 0,

БИЛЕТ №3

Угол между прямыми на плоскости. Определение. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как .

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂. Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = А, В₁ = В. Если еще и С₁ = С, то прямые совпадают.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.

Определение. Прямая, проходящая через точку М₁(х₁, у₁) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

БИЛЕТ № 4

Возрастание и убывание функции

Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если

f(x2) > f(x1) при x2 > x1.

Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b) функции f(x) в любой точке этого интервала приращения Dx и Dy имеют одинаковые знаки.

График возрастающей функции показан на рисунке 1(а).

Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f (x2) і f (x1), то функция f (x) называется неубывающей в интервале ( a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x0 , x1 ] она сохраняет постоянное значение C

Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если

f(x2) < f(x1) при x2 > x1.

Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b ) функции f (x) в любой точке этого интервала приращения Dx и Dy имеют разные знаки.

График убывающей функции показан на рисунке 1(б).

Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f(x2) Ј f(x1), то функция f (x) называется невозрастающей в интервале ( a, b )

БИЛЕТ № 5.

ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x0 Î (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x0) = 0 или f ''(x0) не существует и при переходе через значение x = x0 производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x0 есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть f ''(x) < 0 при x < x0 и f ''(x) > 0 при x > x0. Тогда при x < x0 кривая выпукла, а при x > x0 – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x0 есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f ''(x) > 0 при x < x0 и f ''(x) < 0 при x > x0.

Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.

БИЛЕТ № 6.

Кривые 2 порядка. Гипербола.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

По определению r₁ – r₂= 2a. F₁, F₂ – фокусы гиперболы. F₁F₂ = 2c.

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

обозначим с² – а² = b² (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Получили каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с² – а² = b²:

Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.

Из очевидных геометрических соотношений можно записать: a/e + d = x, следовательно d = x – a/e.

(x – c)² + y² = r²

Из канонического уравнения: , с учетом b² = c² – a²:

Тогда т.к. с/a = e, то r = ex – a.

Итого: .

Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.

Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Для эллипса: c² = a² – b².

Для гиперболы: c² = a² + b².

Уравнение гиперболы: .

Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением Находим фокусное расстояние c² = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c² = a² + b² = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c² = 4a²; a² = 4; b² = 16 – 4 = 12. Итого: - искомое уравнение гиперболы.

БИЛЕТ № 7.

Гиперболоиды.

Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:

1. - эллипсоид вращения

2. - однополостный гиперболоид вращения

3. - двуполостный гиперболоид вращения

4. - параболоид вращения

Однополостный гиперболоид:

Д вуполостный гиперболоид:

БИЛЕТ № 8.

Исследование функции с помощью 2 производной.

Если в точке х0 первая производная функции ƒ(х) равна нулю (ƒ'(х0)=0), а вторая производная в точке х0 существует и отлична от нуля (ƒ"(х0)¹ 0), то при ƒ"(х0)<0 в точке х0 функция имеет максимум и минимум — при ƒ"(х0)>0.

Выпуклость и вогнутость кривой. Кривая выпуклая вверх на (a,b) если все ее точки лежат ниже любой ее касательной; кривая вогнута вниз если все ее точки лежат выше любой касательной на (a,b). Теорема: если во всех точках интервала (a,b) вторая производная отрицательна, то кривая y=f(x) выпуклая вверх, если во всех точках (a,b) вторая производная положительна, то кривая y=f(x) вогнута вниз. Точки, которые отделяют выпуклую часть от вогнутой называют точкой перегиба. Теорема: пусть кривая определяется уравнением y=f(x), если вторая производная в точке А=0 или не существует и при переходе через точку Х=А вторая производная меняет знак, то точка кривой с Х=А.

Асимптоты. Прямая называется асимптотой кривой если расстояние от переменной точки этой кривой до прямой при удалении точек в бесконечность. Следует, что не любая кривая имеет асимптоту. Прямые асимптоты: вертикальные и горизонтальные. Существуют частные случаи, когда кривая неограниченно приближаясь к своей асимптоте может и пересекать ее, причем и не в одной точке. Наклонная асимптота: ; . Если k=0, то наклонной асимптоты нет, но может существовать горизонтальная асимптота y=b.

Схема исследования функции:

1) область существования функции.

2) четность и нечетность функции.

3) нули функции, промежутки знакопостоянства.

4) промежутки возрастания и убывания.

5) точки экстремума.

6) промежутки вогнутости и выпуклости.

7) точки перегиба.

8) асимптоты.

9) составляем таблицу.

10) построение графика.

БИЛЕТ № 9.

Исследование функции с помощью 1 производной.

1. Возрастание и убывание функции. Теорема: 1) если функция f(x) имеет производную на [a,b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная не отрицательна, f^/(x) 0. 2) если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b) причем f^/(x)>0, то для любого х из a<x<b, то функция f(x) возрастает. Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция убывает на [a,b] и ее производная отрицательна, f^/(x)<0 и если f^/(x)<0, то функция f(x) убывает.

2. Точки экстремума. Функция f(x) имеет в точке Х₁ max если ее значение в этой точке больше значения функции во всех точках интервала, содержащего точку Х₁. Функция f(x) имеет в точке Х₂ min если ее значение в этой точке меньше значения функции во всех точках интервала, содержащего точку Х₂. Очевидно, что функция определенная на отрезке может иметь max и min только в точках находящихся внутри отрезка. Теорема(необ. усл. существования экстремума): если функция f(x) дифференцируема в точке Х и точка Х является точкой экстремума, то производная функции обращается в ноль в этой точке. Критическими точками функции называются точки f^/(x) в которых не существует или равна нулю. Теорема (достаточное условие существования экстремума): пусть функция f(x) непрерывна на интервале (a,b) который содержит критическую точку Х и дифференцируема во всех точках этого интервала. Если при переходе через точку Х слева направо f^/(x) меняет знак с плюса на минус, то в точке Х функция имеет max, а если наоборот, то в точке Х функция имеет min. Следует отметить, что точки max и min функции с ее наибольшими и наименьшими значениями на отрезке понятия принципиально разные. Алгебраические нахождения наибольшего и наименьшего значений: 1) находят критические точки; 2) значение функции в критических точках; 3) значение функции на концах отрезка; 4) выбираем среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

БИЛЕТ № 10.

Уравнение касательной к плоскости и нормали к поверхности.

Пусть N и N₀ – точки данной поверхности. Проведем прямую NN₀. Плоскость, которая проходит через точку N₀, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN₀ и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN₀.

Определение. Нормалью к поверхности в точке N₀ называется прямая, проходящая через точку N₀ перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М₀(х₀, у₀), касательная плоскость в точке N₀(x₀,y_0,(x₀,y₀)) существует и имеет уравнение: .

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

БИЛЕТ № 11.

Конические поверхности.

Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.

Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:

F(x² + y², z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.

Аналогично: F(x² + z², y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,

F(z² + y², x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.