Определение предела последовательности
Уточним еще раз некоторые моменты...
Определение
1. Последовательностью 
называется
упорядоченное счетное множество чисел 
.
Обратите внимание, что а) всего чисел - счетное множество и б) они расположены в определенном порядке.
Над последовательностями можно проделывать некоторые операции.
а) Умножение последовательности на число.
Пусть
дана последовательность
и
число c. Тогда произведением
последовательности
на
число c называется последовательность
вида 
.
б) Сложение и вычитание последовательности.
Пусть
даны две последовательности
и 
.
Суммой
и
называется
последовательность вида
+
= 
.
Разностью - последовательность видa
-
= 
.
в) Умножение и деление последовательностей.
Произведение последовательностей
= 
.
Частное последовательностей
.
Определение 2. Последовательность называется ограниченной сверху, если
ограниченной
снизу, если 
;
ограниченной,
если 
;<
(последнее
часто пишут так 
).
Определение
3. Говорят, что при n стремящемся к
бесконечности, последовательность
сходится
к пределу a (запись 
или 
)
если 
Число а называют пределом последовательности .
Дадим комментарий к этому важнейшему понятию.
В
понятии “последовательность” впервые
в математики нашло свое отражение
движение. До введения этого понятия
математика изучала лишь статистические
объекты - площадь треугольника, 2x2 = 4 и
т.д., и только в последовательности
впервые находит свое отражение движение.
Действительно, пусть 
-
это моя координата на оси в какой-то 
-
й момент времени. Тогда, идя по
последовательности, я двигаюсь по оси
- сначала я нахожусь в точке 
,
затем перехожу в точку 
,
затем в точку 
и
т.д..
Конечно,
движение бывает различным. Понятие
предела отражает один из типов этого
движения. Посмотрим еще раз на определение
понятия предела, записав его в виде
.
Вокруг
точки a взята произвольная 
-
окрестность 
.
Сначала движение может быть произвольным,
но вот на 
-
м шаге последовательность попадает в
эту
-
окрестность и все последующее движение
происходит в этой
-
окрестности, т.е. попав на
-
м шаге в окрестность
точки
a, последовательность навсегда остается
в этой окрестности. Так как
сколь
угодно мала, то это означает, что в своем
движении мы неограниченно близко
приближаемся к точке a и уже не можем
уйти от нее. Понятие предела и отражает
именно такой тип движения.
Дадим еще несколько похожих определений.
Определение
4. Говорят,
что при 
последовательность
сходится
к пределу, равному 
(запись: 
или 
)
если
.
Это
означает, что какое бы большое число 
мы
не взяли, при своем движении на каком -
то
шаге
мы окажемся правее точки
и
при дальнейшем движении всегда будем
находиться правее этой точки.
Определение
5. Говорят, что при
последовательность
сходится
к пределу, равному 
(запись:
или 
если
.
Попробуйте описать сами движение этой последовательности.
Бесконечно - малые последовательности
Определение
1. Последовательность
называется
бесконечно-малой последовательностью,
если 
,
т.е. если
.
Определение
2. Последовательность
называется
бесконечно-большой последовательностью,
если 
(это
записывается еще и так: 
,
не учитывая знака перед 
),
т.е. если
.
Изучим некоторые свойства этих последовательностей.
10. Сумма и разность бесконечно-малых последовательностей есть также бесконечно-малая последовательность.
Доказательство:
- б.м.п. =>
- б.м.п. =>
Возьмем
.
Тогда
откуда
следует, что
есть
б.м.п.
Следствие. Сумма любого конечного числа б.м.п. ест также б.м.п
20. Произведение б.м.п на ограниченную последовательность есть б.м.п.
Доказательство:
- ограничена. =>
- б.м.п. =>
.
Но
тогда 
отсюда
и следует, что 
есть
б.м.п.
3. Б.м.п. ограничена
Доказательство:
Пусть - б.м.п. Тогда .
Возьмем 
.
Тогда 
т.е.
ограничена.
Следствие. Произведение б.м.п. есть также б.м.п.
4.
Пусть
-
б.м.п. и 
.
Тогда 
есть
б.б.п.
Доказательство:
- б.м.п => .
Возьмем
любое 
и
положим 
.
Тогда 
отсюда следует, что есть б.б.п.
5. Пусть - б.б..п, тогда есть б.м.п.
- б.б.п => .
Возьмем
любое 
и
положим 
Тогда 
отсюда следует, что есть б.м.п.