Основные свойства неопределенного интеграла

1.  dF(x) = F(x)+C. Справедливость этого равенства следует из очевидной цепочки равенств

 dF(x) =   F'(x)dx =   f(x)dx = F(x)+C.

2. d  f(x)dx = f(x)dx. Данная формула следует из равенства

d  f(x)dx = d(F(x)+C) = dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

3. Если функции f₁(x), f₂(x) имеют первообразные, то функция f₁(x)+f₂(x) тоже имеет первообразную, причем

 (f1(x)+f2 (x))dx =   f1(x)dx+  f2(x)dx.

4. Если функция f(x) имеет первообразную и k– постоянная, то и функция kf(x) также имеет первообразную, причем при k 0 справедливо равенство

 kf(x)dx = k  f(x)dx.

Заметим, что свойства 3 и 4 следуют из свойств производной.

Таблица интегралов

Ранее была указана таблица производных от основных элементарных функций (см. 1.6). Приведем таблицу основных интегралов. Справедливость ниже указанных формул легко проверить дифференцированием. 

Метод подстановки

Замена переменной интегрирования является одним из эффективных методов сведения интеграла к табличному. Этот прием интегрирования называется методом подстановки.

Теорема 15 (метод подстановки). Пусть функция x =  (t) определена и дифференцируема на некотором множестве T, а X - множество значений этой функции, на котором определена f(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на X, то на T справедлива следующая формула

f(x)dx =   f( (t))' (t)dt.

(13)

Доказательство. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на X, то есть F' (x) = f(x). Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

(F( (t)))' = F'_x((t)) '(t) = f((t)) '(t).

Таким образом,

 f( (t))'(t)dt=F((t))+C.

Так как   f(x)dx = F(x)+C, то получим формулу (13).