Производная

При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям x и y на кривой соответствует точка M0(x, y). Если аргументу xдать приращение x, то новому значению аргумента x + x соответствует новое значение функции y+y = f(x + x). Соответствующей ему точкой кривой будет точка M1(x + x, y + y). Если провести секущую M0M1 и обозначить через  угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, из рисунка непосредственно видно, что  .

Если теперь x стремится к нулю, то точка M1 перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке M0, и угол  изменяется с изменением x. При x  0 угол  стремится к некоторому пределу  и прямая, проходящая через точку M0 и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол , будет искомой касательной. Ее угловой коэффициент:

.

Следовательно, f´(x) = tg

т.е. значение производной f´(x) при данном значении аргумента xравняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функцииf(x) в соответствующей точке M0(x,y) с положительным направлением осиOx.

Дифференцируемость функций.

Определение. Если функция y = f(x) имеет производную в точке x = x0, то функция дифференцируема в этой точке.

Непрерывность функции, имеющей производную. Теорема.

Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x = x0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x0 функция y = f(x) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x| непрерывна для всех x (–< х < ), но в точке x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема о корнях производной (теорема Ролля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x = a и x = b обращается в нуль (f(a) = f(b) = 0), то внутри отрезка [a,b] существует, по крайней мере одна, точка x = с, a < c <b, в которой производная f(x) обращается в нуль, т.е. f(c) = 0.

Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a, b] найдется по крайней мере одна точка с, a < c < b, что

f(b) – f(a) = f (c)(b – a).

Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши). Если f(x) и g(x) – две функции, непрерывные на отрезке [a, b] и дифференцируемые во всех внутренних точках этого отрезка, причем g(x) нигде внутри этого отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка [a, b] найдется такая точка x = с, a < c < b, что

.

Производные различных порядков.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a, b]. Значения производной f (x), вообще говоря, зависят от x, т.е. производная f(x) представляет собой тоже функцию от x. При дифференцировании этой функции получается так называемая вторая производная от функцииf(x), которая обозначается f  (x).

Производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первого порядка) от производной n-1-го и обозначается символом y(n) = (y(n – 1)).