Эту теорему легко обобщить на случай большего числа функций одного аргумента:

3. Производная произведения двух функций.

Т₃: Пусть  u = u(x)  и  v = v(x) – дифференцируемые функции одного аргумента . Тогда в точке х

производная  произведенияфункций равна:

Введём вспомогательную функцию  w(x) = u(x) · v(x).

Её приращение в точке х:

∆w(x) = w(x+∆x) – w(x) = [u(x+∆x) · v(x+∆x)] – [u(x) · v(x)] =

=[u(x) + ∆u(x)]∙[v(x) + ∆v(x)] – [u(x) ∙ v(x).

Воспользовались определением приращения функции:

∆u(x) = u(x+∆x) – u(x)   =>    u(x+∆x) = u(x) + ∆u(x).

Тогда в точке х:

∆w = (u+∆u)(v+∆v) – uv = uv +u∆v + v∆u+∆u∆v – uv  =>

∆w = u∆v + v∆u +∆u∆v.

Разделим обе части на ∆х и вычислим пределы от обеих частей равенства при ∆х → 0:

Лемма: если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке и непрерывна, т.е.

Используя теоремы о пределах, имеем окончательно:  , ч. и т.д.

Следствие 1: постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие 2:      

4. Производная частного двух функций.

Т₄: Пусть  u = u(x)  и  v =v(x ≠0 – функции аргумента  х.

Пусть существуют u΄(x)  и  v΄(x). Тогда в точке х

производная частного

функций равна:

Введём вспомогательную функцию     .

Её приращение в точке х:   

Воспользовались определением приращения функции:

∆u(x) = u(x+∆x) – u(x)   =>    u(x+∆x) = u(x) + ∆u(x).

Тогда в точке х:

Разделим обе части на ∆х и вычислим пределы от обеих частей равенства при ∆х → 0:

Напомним, что если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке и непрерывна, т.е.

Используя теоремы о пределах, имеем окончательно:

5. Производная сложной функции.

Т₅: производная сложной функции равна произведению производных функций, из которых она состоит (по соответствующим аргументам).

   Пусть у = f(u), a u = g(x) и множество значений второй функции составляет область определения первой. Пусть существуют f΄(u) и g΄(x) . Тогда:

(Напомним, что для непрерывной функции u(x) при

Δx → 0 и Δu → 0 ).

П:             

6. Таблица производных

Правила дифференцирования: