Касательные и нормали к кривым
Касательная к кривой y = f(x) в точке P(x1, y1) определяется уравнением y = y1 + f'(x1)(x - x1), где f'(x1) есть значение производной df/dx в точке x = x1 (рис. 6.1).
Если рассматриваемая кривая имеет в точке P вертикальную или почти вертикальную касательную, определение касательной при помощи этой формулы невозможно или затруднительно. Затруднения подобного рода легко преодолеваются, если для описания кривой используется неявное уравнение g(x, y) = 0. Тогда неявное уравнение касательной будет иметь вид: gx(x1, y1)(x - x1) + gy(x1, y1)(y - y1) = 0, где gx(x1, y1) и gy(x1, y1) суть значения производных дg/дx и дg/дy в точке P.
Пример. Касательная к окружности x2 + y2 - 1 = 0 в точке (1, 0) вычисляется следующим образом.
Поскольку g(x, y) = x2 + y2 - 1 = 0, то gx = 2x и gy = 2y, откуда следует, что gx(1, 0) = 2 и gy(1, 0) = 0. Таким образом, уравнение искомой касательной имеет вид 2(x - 1) + 0(y - 0) = 0, то есть касательная является вертикальной линией x = 1. Заметим, что если окружность или касательная записаны в явном виде, получить этот результат невозможно.
Явное выражение для нормали, восстановленной в точке P, имеет вид: y = y1 - (x - x1)/f '(x1).
Это уравнение непригодно для случая, когда кривая горизонтальна в точке P. Соответствующее уравнение неявного вида записывается следующим образом: gy(x1, y1)(x - x1) - gx(x1, y1)(y - y1) = 0.
Это уравнение позволяет определять нормали в тех случаях, когда применение явного уравнения невозможно или сопряжено с некоторыми трудностями.
§2. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ |
|
|
|||
Напомним, что производной функции у = f (х) называется предел отношения приращения функции ∆у к приращению аргумента ∆х при стремлении ∆х к 0:
Выведем ряд формул, облегчающих дифференцирование функций. |
|
|
|||
1.Производная постоянной величины. |
|
||||
Пусть f(x) = C = const. Тогда:
Т1: Производная постоянной величины равна 0:
|
|
||||
2. Производная суммы двух функций. |
|
||||
Т2: Пусть u = u(x) и v = v(x) – функции аргумента х. Пусть существуют u΄(x) и v΄(x). Тогда в точке х |
|
||||
производная суммы функций равна сумме их производных |
|
|
|||
Введём вспомогательную функцию w(x) = u(x) + v(x). Её приращение в точке х: ∆w(x) = w(x+∆x) – w(x) = [u(x+∆x) + v(x+∆x)] – [u(x) + v(x)] = =[u(x+∆x) – u(x)] + [v(x+∆x) – v(x)] = ∆u(x) + ∆v(x). |
|
||||
Т.е. в точке х верно утверждение: ∆w = ∆u + ∆v. Разделим обе части равенства на ∆х ≠ 0 :
При
равенстве выражений, зависящих от Δх,
равными должны быть и их пределы при
стремлении ∆х к нулю: |
|
|
|
||
Введём вспомогательную функцию w(x) = u(x) · v(x). Её приращение в точке х: ∆w(x) = w(x+∆x) – w(x) = [u(x+∆x) · v(x+∆x)] – [u(x) · v(x)] = =[u(x) + ∆u(x)]∙[v(x) + ∆v(x)] – [u(x) ∙ v(x). Воспользовались определением приращения функции: ∆u(x) = u(x+∆x) – u(x) => u(x+∆x) = u(x) + ∆u(x). Тогда в точке х: ∆w = (u+∆u)(v+∆v) – uv = uv +u∆v + v∆u+∆u∆v – uv => ∆w = u∆v + v∆u +∆u∆v. Разделим обе части на ∆х и вычислим пределы от обеих частей равенства при ∆х → 0:
Лемма: если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке и непрерывна, т.е.
Используя теоремы о пределах, имеем окончательно:
|
|||||
Воспользовались теоремой: предел суммы равен сумме пределов, если таковые существуют. В соответствии с определением производной: w΄ = u΄ + v΄ , ч. и т.д. |
|
|
|
|
|
.
,
ч. и т.д.