Определение непрерывности функции

  Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки х₀. Функция f (x) называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е.

                     (5.1)

или

(   ε > 0 ) (   δ = δ (ε, x₀) > 0 ) (  | x - x₀ | < δ ) : | f ( x ) − f ( x₀) | < ε

  Заметим, что в этом случае окрестность точки х₀ не является выколотой, в отличие от определения предела. Напомним, что δ – окрестностью точки х₀ называют множество всех точек х, удалённых от точки х₀ на расстояние, меньшее чем δ. Для непрерывности функции в точке требуется выполнение двух условий: существование предела функции в данной точке и совпадение этого предела с тем значением, которое функция принимает в этой точке. Так как  , то соотношение (5.1) можно записать в следующем виде:

т. е. для непрерывной функции можно переставить знак функции и знак предела. Если функция непрерывна в точке х₀, то она определенна в этой точке, т.е. существует f (x₀). Заметим, что при определении предела функции в точке х₀ этого не требовалось.   Приведем еще одно определение непрерывности функции, которое по существу является перефразировкой данного определения непрерывности функции в данной точке. Если

то функция непрерывна в этой точке. Это определение вытекает из свойства предельного перехода функции в данной точке.   Приведем еще одно определение непрерывности функции, которое является перефразированной первого определения непрерывности. Перенесем в равенстве (5.1) f (x₀) под знак предела. Так как условие х → х₀ и (х − х₀) → 0 равносильны, то получаем

                     (5.2)

  Разность Δx = x - x₀ называется приращением аргумента х в точке x₀, разность Δy = f (x) − f (x₀) называется приращением функции в точке х₀, вызванным приращением аргумента Δх (рис. 5.13). При фиксированной точке х₀ величина Δу является функцией аргумента Δ х. Равенство (5.2) в новых обозначениях принимает вид

                     (5.3)

(5.3) является свойством непрерывной функции, которое можно сформулировать так: функция f (x) является непрерывной в точке х₀, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при Δх → 0.

Классификация точек разрыва функции

  Точка х₀ называется точкой разрыва функции f (x), если f (x) в точке х₀ не является непрерывной.   Это значит, что или не существует предела функции в данной точке, или этот предел не совпадает с тем значением, которое функция принимает в этой точке.   Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы

  Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция f (x) не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.   Так для функции

в точке х = 0 односторонние пределы равны

,

то х = 0 является точкой разрыва второго рода (рис. 5.15).

Арифметические действия над непрерывными функциями

  Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны в точке х₀. Тогда функции f (x) ± g (x), f (x)·g (x) и f (x) : g (x) также непрерывны в этой точке (в последнем случае предполагается g (х₀) ≠ 0).