Область определения функции. Необходимые сведения и примеры нахождения.

Эта тема очень важна, так как все наши действия с функциями и выражениями возможны лишь на области их определения. С ее нахождения и следует начинать решение практически любых задач. Определение  Областью определения функции   (выражения f(x) ) называют множество всех значений x , для которых функция (выражение) имеет смысл. Область определения функции   обозначается как   или  .  Дальнейшее изложение предполагает знание областей определения основных элементарных функций, знаниеклассификации элементарных функций , а так же умение решать различные виды неравенств и систем неравенств. При нахождении области определения функции приходится решать различные неравенства (иррациональные, логарифмические, тригонометрические и т.п.) и системы неравенств. Мы не будем подробно останавливаться на их решении, а иногда и вовсе будем оставлять без решения, так как это выходит за рамки данного раздела. Что указывает на наличие ограничений области определения: 

1. присутствие корней четной степени вида  , где n - четное, например,   (наличие степенной функции с дробным показателем, знаменатель которого есть четное число, например,  );Примеры нахождения области определения степенной функции...

2. присутствие функции логарифма вида  , например,   или  ; Нахождение области определения логарифмической функции...

3. присутствие дробей вида  , например,  ; Нахождение области определения дроби...

4. присутствие функций тангенса вида   и котангенса вида  , например,   или  ; Примеры нахождения области определения тангенса и котангенса...

5. присутствие функций арксинуса вида   и арккосинуса вида  , например,   или  ; Примеры нахождения области определения арксинуса и арккосинуса...

6. присутствие показательно степенных функций вида  , например,  ; Нахождение области определения показательно степенной функции...

7. присутствие любых комбинаций всех вышеперечисленных случаев, например, 

Основные элементарные функции, их свойства и графики.

Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарных функций по схеме:

• область определения функции;

• поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);

• проверка на четность и нечетность;

• область значений функции;

• промежутки возрастания и убывания, точки экстремума;

• промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);

• наклонные и горизонтальные асимптоты;

• особые точки функций;

• особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).

Как эти свойства были получены для каждой из основных элементарных функций можете ознакомиться в разделе полное исследование функции и построение графика.

Если же Вас интересует дифференцирование элементарных функций или интегрирование элементарных функций, то можете перейти к этим разделам теории.

Основными элементарными функциями являются: степенная функция с целым показателем степени, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

• Степенная функция, ее график и свойства. 

• Показательная функция, свойства, график.  , где  ,   и 

• Логарифмическая функция, ее свойства, графическая иллюстрация.  , где  ,  и 

• Свойства и графики тригонометрических функций. 

• Обратные тригонометрические функции (аркфункции), их свойства и графики.