1. Предел функции комплексного переменного

теорема доказана

Из приведенной теоремы следует, что известные из курса математического анализа теоремы о свойствах предела функций нескольких действительных переменных остаются справедливыми и для функций комплексного переменного.

Непрерывность функции комплексного переменного

Дифференцируемость и производная функции комплексного переменного

Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного

В этом разделе рассматриваются условия дифференцируемости функции комплексного переменного сформулированные в виде требований на действительную часть и коэффициент при мнимой части.

(1.4)

Вычисление производной функции производится по формулам

Правила вычисления производных

Геометрическая интерпретация производной функции комплексной переменной

Пусть функция - аналитическая в точке и . Отсюда следует, что производная функции существует и непрерывна в некоторой окрестности точки . Тогда справедливы следующие представления приращений аргумента, функции, разностного отношения и их предельных значений в этой точке (используется показательная форма записи комплексных чисел):

Свойство консерватизма углов

Если - аналитическая функция в точке и , то все кривые плоскости , проходящие через точку и имеющие касательные в этой точке, посредством функции отображаются в кривые плоскости , проходящие через точку и также имеющие касательные в этой точке (на . и - образы кривых и соответственно). Причем углы между кривыми в плоскости и углы между их отображениями на плоскость сохраняются как по величине, так и по направлению их отсчета (см. .). Это свойство отображения носит название свойства сохранения углов (консерватизм углов) в точке .

Таким образом, при имеет следующий геометрический смысл: любая кривая в плоскости , проходящая через точку и имеющая касательную в точке , при отображении поворачивается на один и тот же угол :

Если функция - аналитическая в точке , , то при отображении углы между двумя бесконечно малыми линейными элементами , выходящими их точки , с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости равны углам между линейными элементами ( - образы точек ).

При отображении, осуществляемом функцией , аналитической в точке и удовлетворяющей условию , бесконечно малые линейные элементы, выходящие из точки по любому направлению, преобразуются (с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости, чем , ) в подобные бесконечно малые линейные элементы, выходящие из точки . Положительное число - коэффициент подобия (). Поэтому это свойство отображения носит название постоянства растяжения в точке .

Определение .. Отображение, осуществляемое функцией , называется конформным в точке , если оно обладает свойством сохранения величины и ориентации углов, а также и постоянством растяжений в указанной точке .

Сопряженные и гармонические функции

Определение .. Функция , определенная в области , вместе со своими частными производными первого и второго порядков называется гармонической в области , если в указанной области она удовлетворяет уравнению Лапласа

Теорема .. Действительная часть и коэффициент при мнимой части функции , аналитической в односвязной области , являются в этой области гармоническими функциями.

Доказательство. Следует непосредственно из определения 1.10 и условий Коши-Римана (1.4).

Определение .. Две гармонические в области функции и , связанные в области условиями Коши-Римана, называются сопряженными функциями.

Восстановление аналитической функции по ее известной действительной части или коэффициенту при мнимой части

Теорема .. Для всякой функции , гармонической в односвязной области , можно найти сопряженную к ней гармоническую функцию , определенную с точностью до постоянного слагаемого.

Доказательство. Так как функция по условиям теоремы гармоническая в области, то для нее справедливо равенство (1.7), которое записывается в виде . Последнее означает, что - полный дифференциал некоторой функции, , которую можно найти, с точностью до произвольного постоянного по формуле