43) Двудольные графы. Регулярные графы.

Двудольный граф или бигра́ф — это математический термин теории графов, обозначающий граф, множество вершин которого можно разбить на две части таким образом, что каждое ребро графа соединяет какую-то вершину из одной части с какой-то вершиной другой части, то есть не существует ребра, соединяющего две вершины из одной и той же части.

Неориентированный граф называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на две части , , , так, что

• ни одна вершина в не соединена с вершинами в и

• ни одна вершина в не соединена с вершинами в

Двудольный граф называется полным, если для каждой пары вершин существует ребро . Для такой граф называется .

Полный двудольный граф K_3,2

Биграф

Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он не содержит цикла нечётной длины. Поэтому двудольный граф не может содержать клику размером более 2.

Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он 2-раскрашиваем (то есть его хроматическое число равняется двум)

Граф разбивается на пары разноцветных вершин тогда и только тогда, когда любые элементов одной из долей связаны, по крайней мере с элементами другой (Теорема Холла).

Полный двудольный граф, у которого в каждой части больше 2 вершин, является непланарным.

Проверка двудольности

Для того чтобы проверить граф на предмет двудольности, достаточно в каждой компоненте связности выбрать любую вершину и помечать оставшиеся вершины во время обхода графа (например, поиском в ширину или в глубину) поочерёдно как чётные и нечётные. Если при этом не возникнет конфликта, все чётные вершины образуют множество , а все нечётные — .

Проверка двудольности с помощью чётности расстояний

Регулярный граф — граф, степени всех вершин которого равны, то есть каждая вершина имеет одинаковое количество соседей. Степень регулярности является инвариантом графа и обозначается . Для нерегулярных графов не определено. Регулярные графы представляют особую сложность для многих алгоритмов.

Регулярный граф с вершинами степени k называется k‑регулярным, или регулярным графом степени k.

Регулярные графы степени не больше двух легко классифицировать: 0-регулярный граф состоит из изолированных вершин (нуль-граф), 1-регулярный — из изолированных рёбер, а 2-регулярный — из разрозненных циклов.

3-регулярный граф известен также как кубический.

Сильно регулярный граф есть регулярный граф, у которого каждая пара смежных вершин имеет одинаковое количество l общих соседей, и каждая пара несмежных вершин имеет одинаковое количество n общих соседей. Наименьшие графы, которые регулярны, но не сильно регулярны — циклический граф и циркулянтный граф на шести вершинах.

Полный граф является сильно регулярным для любого .

Теорема Нэш-Вильямса гласит, что каждый k‑регулярный граф на 2k + 1вершинах имеет гамильтонов цикл.

0-регулярный граф

1-регулярный граф

2-регулярный граф

3-регулярный граф