40) Полные графы. Группа автоморфизмов полного графа.

Граф называется полным, если любые две его вершины смежны, т.е. имеют общее ребро.

Теорема: В полном графе с n вершинами ребер.

Доказательство. Каждая из n вершин полного графа связана с n-1 вершинами, то есть n(n-1).

При таком подходе каждое из ребер учитывается дважды, поэтому надо разделить произведение на два.

В полном графе всегда существует гамильтонов цикл, и он определяется любой циклической подстановкой.

Группа автоморфизмов графа (Graph automorphism group) — множество всех автоморфизмов графа относительно операции умножения подстановок (обозначение Aut). Связь группы автоморфизмов графа с конечными группами устанавливает Теорема Фрухта (1938): каждая конечная группа изоморфна группе автоморфизмов некоторого графа.

Автоморфизм графа (Automorphism of a graph) — произвольная подстановка на множестве вершин графа, сохраняющая отношение смежности; т.е. такова, что образы и вершин и смежны тогда и только тогда, когда смежны сами вершины и . Иными словами, автоморфизм графа — это изоморфизм графа на себя.

ИЛИ

Группа автоморфизмов графа - совокупность всех автоморфизмов графа с композицией (умножением) в качестве групповой операции. Автоморфизм графа (automorphism) - изоморфизм графа G на себя.

Два графа изоморфны, если они отличаются лишь нумерацией своих вершин.G1=(V1,E1) G2=(V2,E2) G1~G2 (изоморфны) , если существует взаимно-однозначное соответствие между множествами их вершин, сохраняющее отношение смежности.

Группа автоморфизмов полного графа с n вершинами симметрическая степени n.

Теорема. Aut K_n

41) Части графа и операции над ними.

Граф G’=(V’,E’) – часть графа G=(V,E), если V’ V , E’ E.

Если V’ V , E’ E, то это подграф. В нем нет голых вершин.

Если V’= V , E’ E, то это суграф.

Граф G’, построенный на множестве вершин V и на множестве E’, дополняющем граф G до полного, называется дополнительным.

Операции с графами и их частями:

1. сумма графов G₁+G₂= G₁G₂=G, где V=V₁ V₂  E=E₁ E₂;

2. пересечение графов G₁G₂=G, где V=V₁ V₂  E=E₁ E₂;

3. добавление вершины G₁+v=G, где |V|=|V₁| +1  E=E₁;

4. удаление вершины G₁-v=G, где |V|=|V₁| -1  E=E₁;

5. добавление ребра G₁+e=G, где V=V₁  |E|=|E₁|+1;

6. удаление ребра G₁-e=G, где V=V₁  |E|=|E₁|-1.

Паросочетание – это множество ребер, в котором никакие два не являются смежными.

Паросочетание совершенно, если оно полностью покрывает множество вершин графа.

42) Подграф. Пересечение и объединение подграфов.

С помощью операций удаления вершин и удаления ребер формируются различные подграфы заданного графа.

Подграфом графа называется граф, являющийся подмоделью исходного графа. Иначе говоря, подграф содержит некоторые вершины исходного графа и некоторые рёбра (только те, оба конца которых входят в подграф).

Объединение графов G1 и G2 , обозначаемое как , представляет такой граф , что множество его вершин является объединением Х1 и Х2 , а множество ребер – объединением A1 и A2 . Граф G3 , полученный операцией объединения графов G1 и G2 , показан на рис. 2.1,д, а его матрица смежности – на рис. 2.1,е. Матрица смежности результирующего графа получается операцией поэлементного логического сложения матриц смежности исходных графов G1 и G2 .

Пересечение графов G1 и G2 , обозначаемое как , представляет собой граф . Таким образом, множество вершин графа G4 состоит из вершин, присутствующих одновременно в G1 и G2 . Операция пересечения графов показана на рис. 2.2,в, а результирующая матрица смежности получается операцией поэлементного логического умножения матриц смежности исходных графов G1 и G2 . показана на рис. 2.2.г.