23) Бином Ньютона.

Бином Ньютона. Это формула, представляющая выражение ( a + b ) ⁿ  при положительном целом  n  в виде многочлена:

            

24) Перестановки с повторениями и их число

Всякое размещение с повторениями, в котором элемент повторяется раз, элемент повторяется раз и т.д. элемент повторяется раз, где , , , — данные числа, называется перестановкой с повторениями порядка

в которой данные элементы повторяются соответственно , , раз.

Теорема. Число различных перестановок с повторениями из элементов , в которых элементы повторяются соответственно раз, равно

Доказательство. Если мы будем считать все элементов перестановки с повторениями различными, то всего различных вариантов перестановок элементов — . Однако среди этих перестановок не все различны. В самом деле, все элементы мы можем переставлять местами друг с другом, и от этого перестановка не изменится. Точно так же, можем переставлять элементы , , , . Таким образом, всякая перестановка может быть записана способами. Следовательно, число различных перестановок с повторениями равно

Задача. Дано различных предметов. Сколькими способами можно разбить эти предметы на 3 группы так, чтобы первая группа содержала предметов, вторая предметов, а третья предметов?

25) Сочетания с повторениями и их число

Определение. Если каждому элементу некоторого конечного множества поставлено в соответствие целое неотрицательное число — кратность данного элемента, то говорят, что задано сочетание с повторениями. Сумма кратностей всех элементов называется порядком сочетания.

Всякое сочетание с повторениями -го порядка, составленное из множества, содержащего элементов, называется также сочетанием с повторением из элементов по .

Если — кратности элементов , то по определению есть порядок сочетания

Теорема. Число сочетаний с повторениями из элементов по выражается формулой

26) Метод рекуррентных соотношений

Рекуррентное соотношение

     Пример 1: На плоскости нарисовано n - прямых, причем все прямые попарно не параллельны и никакие три прямые не пересекаются в одной точке. На сколько полуплоскостей они разобьют нашу плоскость?

Решение: Рассмотрим пару тривиальных случая и пусть функция f(n) равняется количеству полуплоскостей образованных n - прямыми. Рассмотрим сначала тривиальные случаи:

1)  n = 0  =>  f(0) = 1

2) n = 1  =>  f(1) = 2

3) n = 2  =>  f(2) = 4

Теперь пусть на плоскости n прямых и мы проводим (n + 1) - прямую. Получим, что после проведения нашей (n + 1) - прямой общая численность полуплоскостей увеличиться на (n + 1) - полуплоскость. Отсюда получаем:

при

при

при

Выражаем сначала через и получаем и подставляем полученное равенство в последнее уравнение и получаем

Теперь выражаем через и т. д. В итоге получим следующее равенство

     Пусть - решение комбинаторной задачи для n - предметов и для этой задачи известно рекуррентное соотношение вида

          (1)

- некоторая функция k - переменных. (1) - рекуррентное соотношение k - го порядка. Последовательность чисел - решение (1), если при подстановке в (1) получается верное равенство.

     Если первые k элементов рекуррентного соотношения (1) заданы произвольно(т.е. между ними нет соотношений), то (1) имеет бесконечно много решений. Если же первые k элементов определены однозначно, то все остальные элементы определяются однозначно.

     Определение 1: Пусть - общее решение (1), если оно зависит от k прозвольных постоянных, т.е. . И для любого решения существуют такие постоянные значения , что

26

Рекуррентное соотношение - это соотношение(равенство, система равентсв) позволяющее свести решение комбинационной задачи для некоторого числа предметов к аналогичной задаче с меньшей размерностью. Решение комбинационных задач с помощью рекуррентных соотношений - это метод рекуррентных соотношений.

27

Связь чисел фибоначчи с рекуррентными соотношениями можно показать на примере следующей задачи:

28

29

30

Производящая функция числа сочетаний

Рассмотрим произведение конечного числа биномов

.

Очевидно,

(1.21)

Заметим, что каждому слагаемому коэффициента при можно сопоставить сочетание из множества по k.

Полагая в (1.21) , получим

.

Следовательно, производящей функцией числа сочетаний является функция .

С другой стороны мы знаем, что

.

Приравнивая коэффициенты при xk, получим уже известную нам формулу для подсчёта числа сочетаний из n элементов по k

.

В произведении каждый множитель является линейным двучленом, который благодаря наличию в нём слагаемых 1 и ekx, указывает на возможность наличия или отсутствия в каждом слагаемом при степенях x элемента ek. Это произведение порождает сочетания, так как коэффициент при xk в нём получается выбором единицы в n–k из n двучленных множителей и в k оставшихся после такого выбора множителях – членов вида eix всеми возможными путями. Эти коэффициенты по самому их определению задают сочетания из n по k. Каждый элемент в любом сочетании может появляться не более одного раза, ибо любой множитель состоит только из двух слагаемых.

Рассмотрим произведение в которое множителем входит квадратный трехчлен.

В данном случае каждому слагаемому коэффициента при можно сопоставить сочетание с повторениями из множества по k, причём элемент e1 имеет кратность не более двух (а именно 0,1,2), а кратность элементов e2,e3 не более единицы.

Полагая , получим

(1.22)

Как нетрудно видеть коэффициент при в (1.22) равен числу таких сочетаний и, следовательно, производящей функцией их числа является функция

.

Сказанное выше и рассмотренный пример подсказывают, что производящей функции числа сочетаний из множества заданных условиями, согласно которым кратность каждого элемента может быть одним из чисел является функцией

алгебра кош степенный экспоненциальный ряд

а коэффициент при xk в степенном ряде, полученном после раскрытия скобок в данном выражении и группировки членов по степеням x, равен числу таких сочетаний.

ПРИМЕРЫ(НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО):

Рассмотрим несколько примеров подсчёта числа сочетаний с повторениями.

Найти число решений в целых неотрицательных числах уравнения

. (1.23)

Ясно, что число таких решений равно числу сочетаний с повторениями из множества , причём кратностью элемента xi является любое целое неотрицательное число кратное коэффициенту при xi в уравнении (1.23).

Как мы знаем производящей функцией для последовательности a(n) числа таких сочетаний является

. (1.24)

Коэффициент при xn в этом ряде даст ответ на нашу задачу.

Найти число сочетаний с повторениями из n элементов по k без всяких ограничений на кратность элементов в данном сочетании (т.е. кратность каждого элемента может быть целым неотрицательным числом). Напомним, что выше это число мы обозначали как .

Пусть – производящая функция последовательности

Тогда

(см. (1.10))

Положим в биномиальном ряде . Тогда

.

Следовательно,

(1.25)

Откуда . (Это хорошо известная формула для числа сочетаний с неограниченными повторениями.)

Найти число сочетаний с повторениями из n элементов по k, в которых каждый элемент встречается не менее r раз (т.е. кратность каждого элемента может быть одним из чисел r,r+1,r+2,…).

Очевидно, производящей функцией b(k) для числа сочетаний такого вида является функция

.

Пусть , тогда . Согласно (1.13)

Выше было установлено, что (см. (1.25)).

Следовательно,

Таким образом искомое число сочетаний равно 0, если и равно

, если .

31

32

?????

33

?????

34

Проблема семи мостов Кёнигсберга или Задача о кёнигсбергских мостах (нем. KönigsbergerBrückenproblem) — старинная математическая задача, в которой спрашивалось, как можно пройти по всем семи мостам Кёнигсберга, не проходя ни по одному из них дважды. Впервые была решена в 1736 году немецким и русским математиком Леонардом Эйлером.

История

Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам (через реку Преголя), не проходя ни по одному из них дважды. Многие кёнигсбержцыпытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок. Впрочем, доказать или опровергнуть возможность существования такого маршрута никто не мог.

В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым, легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них. Ответ был «нельзя».

Решение задачи по Леонарду Эйлеру

На упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (дуги графа), а частям города — точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам:

-Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно быть чётно. Не может существовать граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.

-Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.

-Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

Граф кёнигсбергских мостов имел четыре (синим) нечётные вершины (то есть все), следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

Основные понятия теории графов

Граф это множество точек или вершин и множество линий или ребер, соединяющих между собой все или часть этих точек. Вершины, прилегающие к одному и тому же ребру, называются смежными.

Если ребра ориентированны, что обычно показывают стрелками, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным графом.

Если ребра не имеют ориентации, граф называется неориентированным.

В строгом определении графом называется такая пара множеств G=(V,E), где V есть подмножество любого счётного множества, а E — подмножество V×V.

Графы обычно изображаются в виде геометрических фигур, так что вершины графа изображаются точками, а ребра - линиями, соединяющими точки

Петля это дуга, начальная и конечная вершина которой совпадают.

Простой графграф без кратных ребер и петель.

Степень вершины это удвоенное количество петель, находящихся у этой вершины плюс количество остальных прилегающих к ней ребер.

Пустым называется граф без ребер. Полным называется граф, в котором каждые две вершины смежные.

Путь в ориентированном графе — это последовательность дуг, в которой конечная вершина всякой дуги, отличной от последней, является начальной вершиной следующей.

Вершины v0, vn называются связанными данным путем (или просто связанными). Вершину v0 называют началом, vn - концом пути. Если v0 = vn, то путь называют замкнутым. Число n называется длиной пути.

Маршрут в графе путь, ориентацией дуг которого можно пренебречь.

Цепь - маршрут, в котором все ребра попарно различны.

Цикл - замкнутый маршрут, являющийся цепью.

Маршрут, в котором все вершины попарно различны, называют простой цепью. Цикл, в котором все вершины, кроме первой и последней, попарно различны, называются простым циклом.

Подграф графа это граф, являющийся подмоделью исходного графа, т.е. подграф содержит некоторые вершины исходного графа и некоторые ребра (только те, оба конца которых входят в подграф).

Подграф, порожденный множеством вершин U это подграф, множество вершин которого - U, содержащий те и только те ребра, оба конца которых входят в U.

Подграф называется остовным подграфом, если множество его вершин совпадает с множеством вершин самого графа.

Граф называется связным, если любая пара его вершин связана.

Связными компонентами графа называются подграфы данного графа, вершины которых связаны.

Дерево — это связный граф без циклов.

Деревья особенно часто возникают на практике при изображении различных иерархий. Например, популярны генеалогические деревья.

Способы задания графов:

- Список вершин и ребер

- Геометрический(графический) –граф можно задать,нарисовав его на плоскости или любой другой поверхности и отождествив его вершины с точками на плоскости, а ребра с отрезками, соединяющими смежные (соседние) вершины.

- Матрица инциндентности. Это матрица А с n строками, соответствующими вершинам, и m столбцами, соответствующнго рёбрам. Для ориентированного графа столбец, соответствующий дуге (х,y) содержит - 1 в строке, соответствующей вершине х и 1, в строке, соответствующей вершине у. Во всех остальных 0. Петлю, т.е. дугу (х,х) можно представлять иным значением в строке х, например, 2. Если граф неориентированный, то столбец, соответствуюший ребру (х,у) содержит 1, соответствующие х и у и нули во всех остальных строках.

- Матрица смежности. Это матрица n×n где n - число вершин, где bij = 1, если существует ребро, идещее из вершины х в вершину у и bij = 0 в противном случае.

35

?????

36

Графы и изоморфны, если существует такое взаимно однозначное соответствие между множествами их вершин v иv’ , что вершины соединены ребрами в одном из графов в том и только том случае, когда соответствующие им вершины соединены в другом графе. Если ребра ориентированы, то и их направления также должны соответствовать друг другу.

37

Мультиграф — граф, в котором может быть пара вершин, которая соединена более чем одним ребром (ненаправленным), либо более чем двумя дугами противоположных направлений. Мультиграф допускает кратные ребра, но не допускает петель.

Определение изоморфизма мультиграфов включает установление соответствия не только вершин, но и ребер графа

Необходимым и достаточным условием изоморфности графов является совпадение их полных инвариантов.

Инвариант графа— некоторое значение или упорядоченный набор значений, характеризующее структуру графа.

38

Автоморфизм графа есть отображение множества вершин на себя, сохраняющее смежность.[3] Множество таких автоморфизмов образует вершинную группу графа или просто группу автоморфизмов графа.Группа автоморфизмов графа - совокупность всех автоморфизмов графа с композицией (умножением) в качестве групповой операции.

Граф, для которого единственный возможный автоморфизм это тождественное отображение, называется асимметрическим. Наименьшее асимметрическое дерево имеет семь вершин, а наименьший асимметрический граф шесть вершин и столько же ребер.

39

40

Простой граф — граф, в котором нет кратных рёбер и петель.

Полный граф — простой граф, в котором каждая пара различных вершин смежна. Полный граф с n вершинами имеетn(n-1)/2 рёбер.

Группой автоморфизмов полного графа с n вершинами бедет симметрическая группа степени n

Количество автоморфизмов – n!

(Симметрической группой множества X называется группа всех перестановок X (то есть биекций X →X) относительно операции композиции.)