14) Счетные множества. Свойства счетных множеств
Множество, равномощное множеству натуральных чисел, называется счетным.
Другими словами, счетное множество - это такое множество, элементы которого можно "перенумеровать" при помощи натуральных чисел так, чтобы при этом все числа были использованы и различные элементы всегда имели бы различные номера. Таким образом, счетное множество A всегда можно записать в виде
A = {a1, a2, ..., an, ...}.
Свойства
Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).[1]
Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.[1]
Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.
Счётные множества
Простые числа
Натуральные числа
Целые числа
Рациональные числа
Алгебраические числа
Кольцо периодов
Вычислимые числа
Арифметические числа
Множество всех конечных слов над счётным алфавитом
Множество всех слов над конечным алфавитом
Любое бесконечное семейство непересекающихся открытых интервалов на действительной оси
Множество всех прямых на плоскости, каждая из которых содержит хотя бы 2 точки с рациональными координатами
Любое бесконечное множество точек на плоскости, все попарные расстояния между элементами которого рациональны
15) Несчетные множества. Существование несчетных множеств
Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.
Несчётные множества
Вещественные числа
Комплексные числа
16) Свойства континуальных множеств
В
теории
множеств,
конти́нуум
(от лат. continuum —
непрерывное) — мощность
(или кардинальное
число)
множества всех вещественных
чисел.
Обозначается строчной латинской
буквой c
во фрактурном
начертании:
.
Множество, имеющее мощность континуум,
называется континуа́льным
множеством.
Также термин континуум может обозначать само множество вещественных чисел, или даже любое континуальное множество.
Свойства
Континуум является бесконечной мощностью (алефом), превосходящей мощность счётного множества
.
Любое континуальное множество имеет
счётное подмножество.Континуум не меньше, чем мощность множества всех счётных ординалов
.
Любое континуальное множество имеет
подмножество мощности
.
Предположение о том, что
называется
континуум-гипотезой.Мощность объединения не более чем континуального семейства множеств, каждое из которых не более чем континуально, не превосходит континуума.
При разбиении континуального множества на конечное или счётное число частей хотя бы одна из частей будет иметь мощность континуум. Как следствие, кофинальность (англ.) континуума - несчётна.
Примеры
Примеры множеств, имеющих мощность континуум:
Все точки отрезка
.Все точки плоскости
(или
).Множество всех иррациональных чисел.
Множество всех трансцендентных чисел.
Множество всех подмножеств счётного множества.
Множество всех частичных порядков на счётном множестве.
Множество всех счётных множествнатуральных чисел.
Множество всех счётных множеств вещественных чисел.
Множество всех непрерывных функций
.Множество всех открытых подмножеств плоскости (или ).
Множество всех замкнутых подмножеств плоскости (или ).
Множество всех борелевских подмножеств плоскости (или ).