10)Отношения строгого и нестрогого порядка

На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого.

Бинарное отношение на множестве называется отношением порядка, или отношением частичного порядка, если имеют место

• Рефлексивность:

• Транзитивность: ;

• Антисимметричность: .

Частично упорядоченным множеством (ЧУМ) называется любое множество, если, по крайней мере, для некоторых пар его элементов установлено отношение порядка. Если отношение порядка установлено для любой пары элементов, множество будет линейно упорядоченным множеством (ЛУМ). Очевидно, ЛУМ есть частный случай ЧУМ. Примером ЧУМ могут быть должности в учреждении: между некоторыми из них установлено отношение подчинения, а другие являются несравнимыми (должности из разных отделов). Примерами ЛУМ являются: множество натуральных чисел, множество действительных чисел и другие множества, построенные на их основе. Все подмножества ЛУМ также являются ЛУМ.

В зависимости от вида отношения порядка, установленного на множестве, само множество получает определения: строго или нестрого упорядоченное ЧУМ или ЛУМ. Чтобы задать ЧУМ нужно определить два объекта: множество А и отношение порядка R. В общем виде получается кортеж

.

Мы видим, что ЧУМ является моделью, то есть разновидностью математической системы, сигнатура которой состоит только из отношений. При этом ЧУМ является простейшей из моделей, так как использует только одно отношение. Свойства отношения порядка могут быть указаны в названии множества (взамен отдельных аксиом, ввиду немногочисленности и простоты этих свойств), а конкретные связи между элементами придется задавать таблицами или графами. Характерные для алгебр аналитические представления для ЧУМ невозможны, ввиду неоднозначности образа в задаваемых соответствиях.

Сравнительно просто описываются ЛУМ. На рис. 11.1 показаны графы ЛУМ для случаев строгого и нестрогого порядка.

Рис. 11.1

Для ЛУМ графическое или табличное задание не требуется ввиду простоты этой модели. Упорядоченный перечень элементов (кортеж 1, 2, 3, 4) вполне достаточен. Совсем иначе обстоит дело с ЧУМ общего вида (рис. 11.2). Из рисунка видно, что пара (b, c) несравнима. Ясно, что без таблицы или графа такое ЧУМ задать нельзя.

Рис. 11.2

Частично упорядоченное множество — математическое понятие, которое формализует интуитивные идеи упорядочения, расположения элементов в определённой последовательности. Неформально, множество частично упорядочено, если указано, какие элементы следуют за какими (какие элементы больше каких). В общем случае может оказаться так, что некоторые пары элементов не связаны отношением «следует за».

В качестве абстрактного примера можно привести совокупность подмножеств множества из трёх элементов (булеан данного множества), упорядоченную по отношению включения.

Линейно упорядоченное множество или цепь ― частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов и имеет место или .

Важнейший частный случай линейно упорядоченных множеств ― вполне упорядоченные множества.