Дополнение множества Определение

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсума , то определяется операция дополнения:

Свойства

• Операция дополнения является унарной операцией на булеане .

• Законы дополнения:^[1]

• 

• 

В частности, если оба и непусты, то является разбиением .

• 

• 

• 

• Операция дополнения является инволюцией:

• Законы де Моргана:

• 

• 

• Законы разности множеств:

• 

• 

6)Бинарные соответствия между множествами и их виды. Отображения мно-в и их св-ва.

Отображение из множества в множество считается заданным, если каждому элементу сопоставлен единственный элемент . Отображение из множества в множество обозначают записью или . Элемент , который отображением сопоставляется элементу , называют образом элемента при отображении и обозначают .

P:A->B – P отображается А в В

Виды отображений

a) Инъективным отображением множества X на множесто Y называется такое отображение, при котором двум различным элементам из множества X соответствуют различные элементы из множества Y. Другими словами инъективное отображение, если для любых выполнено .

примером инъективного отображения является отображение:

б) Сюръективное отображение(или сюръекция). Сюръекцией называется такое отображение, при котором каждому образу из множества Y, соответствует хотя бы один прообраз из множества X/

примером сюръекции является отображение: .

в) Биективное(взаимооднозначное) отображение (или биекция). Биекция является одновременно и инъекцией, и сюръекцией. Поясним это: Для любого образа y из множества Y существует единственный прообраз во множестве X.

7) Композиция соответсвий. Ассоциативность композиции. Ассоциативность композиции функций

Доказательство «на бумаге».

 ; δ-эквивалентность

 ; δ-эквивалентность

 ; β-эквивалентность

 ; δ-эквивалентность

 ; δ-эквивалентность

 ; β-эквивалентность

По транзитивности равенства

8) Инверсия соответствия и её св-ва.

Свойства отношений

Бинарные отношения могут обладать различными свойствами, такими как

• Рефлексивность: .

• Антирефлексивность (иррефлексивность): .

• Симметричность: .

• Антисимметричность: .

• Транзитивность: .

• Асимметричность: . Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения.

Виды отношений

• Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка.

• Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности.

• Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка.

• Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка.

• Полное антисимметричное (для любых x, y выполняется xRy или yRx) транзитивное отношение называется отношением линейного порядка.

• Антирефлексивное асимметричное отношение называется отношением доминирования.

Отношение эквивалентности ( ) на множестве  — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

1. Рефлексивность: для любого в ,

2. Симметричность: если , то ,

3. Транзитивность: если и , то .

Запись вида « » читается как « эквивалентно ».

Самое наглядное и всем знакомое отношение эквивалентности - разделение контингента учащихся конкретной школы на классы.

Пусть на множестве задано отношение эквивалентности . Тогда множество всех классов эквивалентности называется фактормножеством и обозначается . Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией.

Отображение из в множество классов эквивалентности называется факторотображением. Благодаря свойствам отношения эквивалентности, разбиение на множества единственно. Это означает, что классы, содержащие , либо не пересекаются, либо совпадают полностью. Для любого элемента однозначно определён некоторый класс из , иными словами существует сюръективное отображение из в . Класс, содержащий , иногда обозначают .

Есть множество -- большая куча. Мы её разбиваем на маленькие кучки. Множество этих кучек и есть фактор-множество.

у нас есть множество всех людей . Разобьём их на группы на два множества: у кого есть водительские права -- и у кого их нет -- . Получили фактор множество из двух элементов. Все люди с водительскими правами считаются неотличимыми. Это например, используется инспектором ГИБДД, ему не важно кто вы когда управляете машиной, главное есть ли у вас права или нет. Более сложный случай разобьём всех людей по размерам обуви. Аналогично, чтоб носить некоторую пару обуви важно, чтоб размер совпал, но не важен, например цвет глаз или количество пальцев на руках. Можно вводить фактор множество через отношение эквивалентности. Например, два человека объявляются эквивалентными, если они живут в одной стране. Рефлексивность, симметричность и транзитивность этого отношения очевидна, и мы получаем разбиваем всех людей по странам в которых они живут. То же самое и с числами, четные и нечётные числа представляют разбиение множества всех целых чисел. Соответствующее этому разбиению отношение, есть совпадение остатков от деления на .