66) Задача о четырёх красках
Проблема четырёх красок — математическая задача, предложенная Фрэнсисом Гутри (англ.) в 1852 году, сформулированная следующим образом:
|
Выяснить, можно ли всякую расположенную на сфере карту раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета. |
|
Стоит отметить две необходимые характеристики этой карты:
Граница между любыми двумя областями является непрерывной линией.
Каждая область является односвязной.
Переформулировать эту задачу можно так: показать, что хроматическое число плоского графа (c определенными ограничениями в соответствии с понятием «карта» в данной теореме) не превосходит 4.
О доказательстве
Кеннет Аппель[en] и Вольфганг Хакен[en] из Иллинойского университета доказали в 1976 году, что так можно раскрасить любую карту. Это была первая[источник?] крупная математическая теорема, для доказательства которой был применён компьютер. Несмотря на последующие упрощения, доказательство практически невозможно проверить, не используя компьютер. Поэтому некоторые математики отнеслись к этому доказательству с недоверием, что объяснялось не только использованием компьютера, но и громоздкостью описания алгоритма первых доказательств (741 страница); впоследствии были предложены более компактные алгоритмы и скорректирован ряд ошибок[1]. Проблема четырёх красок является одним из известнейших прецедентов неклассического доказательства в современной математике.
67)Раскраска рёбер мультиграфа
???????
68)Свойства бихроматического графа
Хроматическое число графа G — минимальное число цветов, в которые можно раскрасить вершины графа G так, чтобы концы любого ребра имели разные цвета. Обозначается χ(G).
69 билет
Раскраска графа
В неорграфе G(A,U) взвесим вершины, т.е. каждой вершине сопоставим целое число, и потребуем при этом, чтобы смежным вершинам были сопоставлены разные числа. Если число трактовать как номер краски, то такое взвешивание вершин называют раскраской графа. Раскраска графа, в которой используется минимальное число красок, называется минимальной. Число красок минимальной раскраски является одной из характеристик графа и называется хроматическим числом. К задаче определения минимальной раскраски графа сводятся многие задачи.
Алгоритм раскраски А.П.Ершова
Введем
понятие расстояния между вершинами как
длину минимального пути между ними.
Назовем 1-окрестностью вершины
множество
вершин на расстоянии единицы от
,
p-окрестностью вершины а- множество
вершин на расстоянии
от
.
Выберем вершину и присвоим ей первую краску Выберем из 2-окрестности этой вершины любую вершину и присвоим ей ту же краску. Объединим эти две вершины в одну так, что все ребра, связывающее нераскрашенные вершины с этими вершинами, заменяются ребрами к этой объединенной вершине. Для полученного графа находим новую нераскрашенную вершину из 2-окрестности, если таковая есть, красим ее в ту же краску и объединяем с объединенной вершиной. Такая процедура продолжается до тех пор, пока находятся нераскрашенные вершины в 2 — окрестности объединенной вершины. Затем из числа нераскрашенных вершин выбирается новая вершина, и для нее процедура раскраски повторяется, и так до тех пор, пока все вершины не будут раскрашены.
Алгоритм достаточно просто реализуется, если граф представлен в виде матрицы смежности, однако приведены примеры, когда решение имеет не минимальное количество красок. Алгоритм А.П.Ершова относится к так называемым эвристическим алгоритмам, построенным на основе некоторых разумных с точки зрения здравого смысла методах, для которых гарантий оптимальности нет.
Другой пример(мне нравится больше)
Шаг1. Создать вершины графа.
Шаг2: вершины располагаются в порядке невозрастания их степеней.
Шаг3: неокрашенная вершина с наименьшим номером окрашивается в цвет 1, затем вершины просматриваются в порядке возрастания номера.
Шаг4: вершины, смежные с одной из окрашенных в цвет 1, не могут быть раскрашены в этот цвет.
Шаг5: в цвет 1 окрашивается всякая вершина, которая не смежна с другой, уже окрашенной в этот цвет.
Шаги 3-5 повторяются для цветов с большими номерами, пока не будут раскрашены все вершины. Число использованных цветов будет тогда приближенным значением хроматического числа графа - минимального числа цветов, необходимого для раскраски графа.
К задаче раскраски графа могут быть сведены разнообразные задачи, возникающие при планировании производства, составлении графиков осмотра, хранении и транспортировке товаров и т.д. Рассматриваемые графы являются неориентированными и не имеют петель.
70 билет
71
