61.Обходы графа по глубине и ширине. Фундаментальные циклы графов.

При поиске в глубину посещается первая вершина, затем необходимо идти вдоль ребер графа, до попадания в тупик. Вершина графа является тупиком, если все смежные с ней вершины уже посещены. После попадания в тупик нужно возвращаться назад вдоль пройденного пути, пока не будет обнаружена вершина, у которой есть еще не посещенная вершина, а затем необходимо двигаться в этом новом направлении. Процесс оказывается завершенным при возвращении в начальную вершину, причем все смежные с ней вершины уже должны быть посещены.

При поиске в ширину, после посещения первой вершины, посещаются все соседние с ней вершины. Потом посещаются все вершины, находящиеся на расстоянии двух ребер от начальной. При каждом новом шаге посещаются вершины, расстояние от которых до начальной на единицу больше предыдущего. Чтобы предотвратить повторное посещение вершин, необходимо вести список посещенных вершин. Для хранения временных данных, необходимых для работы алгоритма, используется очередь – упорядоченная последовательность элементов, в которой новые элементы добавляются в конец, а старые удаляются из начала.

Рассмотрим каркас T графа G .e1…eS — все ребра графа G , которые не входят в каркас T . При добавлении ei образуется простой цикл Ci . Семейство циклов C1….Cs называется фундаментальными циклами графа G относительно каркаса T

62. Матрица фундаментальных циклов графа.

Матрицей фундаментальных циклов графа G называется матрица Φ = [φij], состоящая из ν(G) строк и m столбцов, в которой φij равно 1, если ребро aj принадлежит циклу Φi, и равно 0 в противном случае. Предположим, что система фундаментальных циклов порождена некоторым остовом T графа G. Тогда, если ребра не принадлежащие дереву T, пронумеровать последовательно от 1 до ν(G), а ребра дерева T от ν(G) + 1 до m, то матрица циклов Φ будет иметь вид Φ = (I|Φ12), где I — единичная матрица.

63.Разрезы в графах. Свойства разрезов неориентированного связного графа.

Разрез графа — множество рёбер, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом.

Разрез графа — линия, делящая граф на две несвязанные части.

ХарактеристикиЛинии сечения могут пересекать произвольное число ребер и хорд.Для получения главного сечения графа нужно линию сечения графа провести таким образом, чтобы она пересекала только одну ветвь графа при произвольном пересечении хорд.

64. Фундаментальное множество коциклов графа . Матрица фундаментальных коциклов графа и его свойства.

Множество {K1, K2, …, К.п–c}

всех фундаментальных разрезов графа G называ-

ется фундаментальным множеством коциклов

графа G относительно остова Т.

65. Раскраска графов по вершинам. Алгоритм раскраски графа.

1. Упорядочить вершины по невозрастанию степени.

2. Окрасить первую вершину в цвет 1.

3. Выбрать цвет окраски 1.

4. Пока не окрашены все вершины, повторять п.4.1.-4.2.:

4.1. Окрасить в выбранный цвет всякую вершину, которая не смежна с другой, уже окрашенной в этот цвет.

4.2. Выбрать следущий цвет.

В этом простейшем из методов вершины вначале располагаются в порядке невозрастания их степеней. Первая вершина окрашивается в цвет 1; затем список вершин просматривается сверху вниз (по невозрастанию степеней) и в цвет 1 окрашивается всякая вершина, которая не смежна с другой, уже окрашенной в этот цвет. Потом возвращаемся к первой в списке неокрашенной вершине, окрашиваем ее в цвет 2 и снова просматриваем список вершин сверху вниз, окрашивая в цвет 2 любую неокрашенную вершину, которая не соединена ребром с другой, уже окрашенной в цвет 2 вершиной. Аналогично действуем с цветами 3, 4 и т. д., пока не будут окрашены все вершины. Число использованных цветов будет тогда приближенным значением хроматического числа графа.