57.Деревья. Концевые вершины. Критерий дерева.

Дерево — это связный ациклический граф.[1] Связность означает наличие путей между любой парой вершин, ацикличность — отсутствие циклов и то, что между парами вершин имеется только по одному пути.

Вершины с нулевой степенью исхода (из которых не исходит ни одна дуга) называются концевыми вершинами или листьями.

Формально дерево определяется как конечное множество T одного или более узлов со следующими свойствами:

1.существует один корень дерева T.

2.остальные узлы (за исключением корня) распределены среди м>0 непересекающихся множеств T1,…,Tm , и каждое из множеств является деревом; деревья T1,…,Tm называются поддеревьями данного корня T.

58.Лес и его свойства.

Лес — множество (обычно упорядоченное), не содержащее ни одного непересекающегося дерева или содержащее несколько непересекающихся деревьев.

граф G есть дерево;

граф G является связным и не имеет простых циклов;

граф G является связным и число его ребер равно на единицу меньше числа вершин;

Любые две различные вершины графа G можно соединить единственной (и при этом простой) цепью;

Граф G не содержит циклов, но, добавляя к нему любое новое ребро, получаем ровно один (с точностью до направления обхода и начальной вершины обхода) и при том простой цикл (проходящий через добавляемое ребро).

59.Остов графа. Циклический и коцикличский ранги графа

Пусть G — произвольный (n, m)-граф с k компонентами связности. Если G — не дерево, то в нем (его компонентах связности) существуют циклы. Рассмотрим какой-либо цикл и удалим из него некоторое ребро. При этом количество компонент связности не увеличится. Если после этого еще останутся циклы, то рассмотрим следующий из них и снова удалим какое-либо его ребро. Продолжим этот процесс до тех пор, пока не исчезнут все циклы. Полученный в результате подграф, который, очевидно, является лесом и имеет столько же компонент связности, как и исходный граф G, называется остовом графа G.

Остовым (покрывающим) деревом графа G называется любое дерево T, являющееся суграфом графа G. Покрывающее дерево T в связном графе определяется неоднозначно.

Связный граф имеет единственное покрывающее дерево тогда и только тогда, когда он сам является деревом.

Остов графа G является минимальным связным суграфом графа G, то есть содержит минимальное количество ребер, связывающих вершины графа.

Суграф T графа G называется каркасом этого графа, если он является лесом, который на любом компоненте связности графа G образует дерево.

Число ν(G)=m-n+k называется цикломатическим числом (циклическим рангом) графа G. Число ν*(G)=n-k, то есть число ребер, входящих в любой остов графа G называется его коциклическим рангом. ν(G)+ν*(G)=m

60.Взвешенные графы. Алгоритм нахождения остова графа наименьшего веса.

Для нахождения остова минимального веса с помощью метода Краскала нужно выполнить следующие шаги:

1.Помечают вершину начала построения остова. Среди ребер, инцидентных помеченной вершине, находят ребро минимального веса для остова. Помечают новую вершину, инцидентную этому ребру. Вершина новая, если к ней ранее не обращались.

2.Смотрят, все ли вершины помечены. Если да, то заканчивают поиск, если нет, то переходят к шагу 3.

3.Среди ребер, инцидентных помеченным вершинам, за исключением ребер остова и ребер, образующих в остове цикл, находят ребро минимального веса для остова. Помечают новую вершину, инцидентную этому ребру, и переходят к шагу 2.

4.При изменении вершины начала конфигурация остова минимального веса не измениться. Она может измениться при наличии в графе ребер одинакового минимального веса.