- •1)Множества. Включения и равенство множеств. Свойства.
- •2) Операция объединения и пересечения множест. Свойства.
- •3)Разность и симметричная разность. Свойства.
- •4) Пустое и универсальное множество
- •Дополнение множества Определение
- •Свойства
- •6)Бинарные соответствия между множествами и их виды. Отображения мно-в и их св-ва.
- •Виды отображений
- •7) Композиция соответсвий. Ассоциативность композиции. Ассоциативность композиции функций
- •8) Инверсия соответствия и её св-ва.
- •10)Отношения строгого и нестрогого порядка
- •11)Равномощные множества. Теорема Кантора.
- •Доказательство
- •12)Отношение порядка на совокупности мощностей
- •13) Критерий бесконечности множества
- •14) Счетные множества. Свойства счетных множеств
- •15) Несчетные множества. Существование несчетных множеств
- •16) Свойства континуальных множеств
- •17) Метод математической индукции.
- •18) Основное правило комбинаторики
- •19) Перестановки и их число
- •20) Размещения и их число
- •23) Бином Ньютона.
- •24) Перестановки с повторениями и их число
- •25) Сочетания с повторениями и их число
- •26) Метод рекуррентных соотношений
- •40) Полные графы. Группа автоморфизмов полного графа.
- •41) Части графа и операции над ними.
- •42) Подграф. Пересечение и объединение подграфов.
- •43) Двудольные графы. Регулярные графы.
- •44) Операции добавления вершины (ребра) к графу. Операции удаления вершины (ребра) графа.
- •45) Отождествление вершин графа. Стягивание ребра графа.
- •46) Дополнение графа. Свойства. Кольцевая сумма графов. Свойства.
- •47) Соединение (сумма) графов и его свойства.
- •48) Произведение графов. Свойства.
- •49) Композиция графов. Некоммутативность операции композиции графов.
- •50) Маршруты, цепи, циклы, простые цепи и циклы. Связность в графах. Сильно связные графы. Связные компоненты.
- •51) Расстояние в графах. Матрицы связности и достижимости.
- •52) Эксцентриситет вершин, диаметр и радиус графа. Центральные и периферийные вершины.
- •53) Взвешенные графы. Взвешенные эксцентриситет, радиус и диаметр. Взвешенные графы
- •53.Взвешеные графы . Взвешенный эксцентриситет ,радиус и диаметр.
- •54.Эйлеровы графы. Построение Эйлеровых циклов.
- •55.Покрытия графов.
- •56.Гамильтоновы графы.
- •57.Деревья. Концевые вершины. Критерий дерева.
- •58.Лес и его свойства.
- •59.Остов графа. Циклический и коцикличский ранги графа
- •60.Взвешенные графы. Алгоритм нахождения остова графа наименьшего веса.
- •61.Обходы графа по глубине и ширине. Фундаментальные циклы графов.
- •62. Матрица фундаментальных циклов графа.
- •64. Фундаментальное множество коциклов графа . Матрица фундаментальных коциклов графа и его свойства.
- •65. Раскраска графов по вершинам. Алгоритм раскраски графа.
- •66) Задача о четырёх красках
- •О доказательстве
- •67)Раскраска рёбер мультиграфа
- •68)Свойства бихроматического графа
- •71 Билет
53.Взвешеные графы . Взвешенный эксцентриситет ,радиус и диаметр.
Взвешенный граф — граф, каждому ребру которого поставлено в соответствие некое значение (вес ребра).
Эксцентриситет вершины графа − это максимальное расстояние от неё до других вершин (по количеству рёбер или их весу)
Радиус графа — минимальный из эксцентриситетов вершин связного графа; вершина, на которой достигается этот минимум, называется центральной вершиной.
Диаметр графа — это максимальное из расстояний между парами его вершин. Расстояние между вершинами определяется как наименьшее число рёбер, которые необходимо пройти, чтобы добраться из одной вершины в другую. Иначе говоря, это расстояние между двумя вершинами графа, максимально удаленными друг от друга.
54.Эйлеровы графы. Построение Эйлеровых циклов.
Алгоритм построения эйлерова цикла
Для начала отметим, что теорема 1 также дает метод построения эйлерова цикла. Здесь мы рассмотрим несколько иной алгоритм.
Пусть G(X, E) -- связный неорентированный граф, не имеющий вершин нечетной степени. Назовем мостом такое ребро, удаление которого из связного графа разбивает этот граф на две компоненты связности, имеющие хотя бы по одному ребру.
1. Пусть a -- произвольная вершина графа G. Возьмем любое ребро e1=(a, x1) , инцидентное вершине a, и положим = {e1}.
2. Рассмотрим подграф G1(X, E\1). Возьмем в качестве e2 ребро, инци-дентное вершине x1 и неинцидентное вершине a, которое также не является мостом в подграфе G1 (если такое ребро e2 существует!). Получим простую цепь 2 = {e1, e2}.
3. Пусть e2 = (x1, x2), x a. Рассмотрим подграф G2(X, E\2) и удалим из него все изо-лированные вер-шины. В полученном подграфе выберем ребро e3E\2, инцидентное вершине a, которое не является мостом в под-графе (если такое ребро e3 суще-ству-ет!). Получим простую цепь
3 = {e1, e2, e3}.
Продолжая указанный процесс, мы через конечное число шагов получим эйлеров цикл = {e1, e2, …, en}, где n -- число ребер графа G(X, E).
55.Покрытия графов.
Будем говорить, что ребро и вершина покрывают друг друга, если они инцидентны. Множество вершин, покрывающих все ребра графа Γ(V,R), называется вершинным покрытием графа
Γ, а множество
ребер, покрывающих все вершины, называется реберным покрытием графа Γ. Подмножество данного покрытия, само являющееся покрытием и содержащее минимальное число вершин (ребер) будем называть минимальным
покрытием. Наименьшее число вершин во всех вершинных покрытиях графа Γ называется его числом вершинного покрытия и обозначается
α0(Γ) или
α0. Аналогично наименьшее число
α1(Γ), или
α1, ребер в реберных покрытиях
графа Γ называется числом реберного покрытия.
56.Гамильтоновы графы.
Гамильтонов граф — в теории графов это граф, содержащий гамильтонову цепь или гамильтонов цикл.
Гамильтонов путь (или гамильтонова цепь) — путь (цепь), содержащий каждую вершину графа ровно один раз. Гамильтонов путь, начальная и конечная вершины которого совпадают, называется гамильтоновым циклом. Гамильтонов цикл является простым остовным циклом (см. Словарь терминов теории графов). Задача определения содержит ли данный граф гамильтонов цикл является NP-полной.