53) Взвешенные графы. Взвешенные эксцентриситет, радиус и диаметр. Взвешенные графы

Следующий шаг в описании связей между объектами с помощью графов состоит в приписывании ребрам некоторых количественных значений, качественных признаков или характерных свойств, называемых весами. В простейших случаях это может быть порядковая нумерация ребер, указывающая на очередность их рассмотрения (приоритет или иерархия). Вес ребра может означать длину (пути сообщения), пропускную способность (линии связи), напряжение или ток (электрические цепи), количество набранных очков (турниры), валентность связей (химические формулы), количество рядов движения (автомобильные дороги), цвет проводника (монтажные схемы электронного устройства), характер отношения между людьми (сын, отец, подчиненный, учитель) и т. п.

            Вес можно приписывать не только ребрам, но и вершинам. Например, вершины, соответствующие населенным пунктам, могут характеризоваться количеством мест в гостиницах, пропускной способностью станций техобслуживания. Вообще, вес вершины означает любую характеристику соответствующего ей объекта – атомный вес элемента в структурной формуле, цвет изображаемого вершиной предмета, возраст человека и т. п.

Определение 4.4. Графы, вершинам и (или) ребрам которых приписаны некоторые веса, называют взвешенными графами. Графы, вершинТаким образом, матрица сильной связности, полученная по формуле 2) утверждения 3, будет следующей:ы которых пронумерованы, еще называют помеченными графами.

            Особое значение для моделирования физических систем приобрели взвешенные ориентированные графы, называемые графами потоков сигналов или сигнальными графами. Вершины сигнального графа отождествляются с некоторыми переменными, описывающими состояние системы, а вес каждой вершины означает функцию времени или некоторой величины, характеризующую соответствующую переменную (сигнал вершины). Дуги отображают связи между переменными, и вес каждой дуги представляет собой численное или функциональное отношение, задающее передачу сигнала от одной вершины к другой (передача дуги). Сигнальные графы находят широкое применение в теории цепей и систем, а также во многих других областях науки и техники.

Пусть G=<M,R> - взвешенный граф, в котором вес каждой дуги (a,b) есть некоторое вещественное число µ(a,b). Весом маршрута a1,a2,...,an,an+1 называется число Взвешенным расстоянием (ω-расстоянием) pω(a,b) между вершинами а и b называется минимальный из весов (a,b)- маршрутов. (а,b)-маршрут, вес которого равен расстоянию pω(a,b) называется кратчайшим (а,b)-маршрутом во взвешенном графе G. Взвешенным эксцентриситетом eω(a) вершины а называется число Взвешенной центральной вершиной графа G называется вершина а, для которой }. Взвешенный эксцентриситет центральной вершины называется взвешенным радиусом графа G и обозначается через rω(G).