51) Расстояние в графах. Матрицы связности и достижимости.

Пусть - связный неориентированный граф. Так как любые две вершины графа и связаны, то существуют простые цепи с концами и . Таких цепей может быть несколько. Их длины являются неотрицательными целыми числами. Следовательно, между вершинами и должны существовать простые цепи наименьшей длины. Длина цепи наименьшей длины, связывающей вершины и , обозначается символом и называется расстоянием между вершинами и . По определению .

Нетрудно убедиться, что введенное таким образом понятие расстояния, удовлетворяет аксиомам метрики:

1. ;

2. тогда и только тогда, когда ;

3. ;

4. справедливо неравенство треугольника: .

Вершина w орграфа D (графа G) достижима из вершины v, если либо v=w, либо существует путь из v в w(маршрут, соединяющий v, w).

Пусть A(D) – матрица смежности ориентированного псевдографа D=(V,X) (или псевдографа G=(V,X)), где V={v1,…, vn}. Обозначим через Ak=[a(k)_ij] k-ю степень матрицы смежности A(D).

Элемент a(k)_ij матрицы A_k ориентированного псевдографа D=(V,X) (псевдографа G=(V,X)) равен числу всех путей (маршрутов) длины k из v_i в v_j.

Матрица достижимости ориентированного графа D − квадратная матрица T(D)=[t_ij] порядка n, элементы которой равны

Матрица сильной связности ориентированного графа D − квадратная матрица S(D)=[s_ij] порядка n, элементы которой равны

Матрица связности графа G − квадратная матрица S(G)=[s_ij] порядка n, элементы которой равны

Утверждение 3. Пусть D=(V,X) – ориентированный граф, V={v1,…, vn}, A(D) – его матрица смежности. Тогда

1) T(D)=sign[E+A+A2+A3+… An-1],

2) S(D)=T(D)&TT(D) (TT-транспонированная матрица, &- поэлементное умножение).

Пример:

Значит, для данного ориентированного графа матрица смежности будет иметь размерность 5×5 и будет выглядеть следующим образом:

Найдем матрицу достижимости для данного ориентированного графа по формуле 1) из утверждения 3:

, ,

Следовательно,

Таким образом, матрица сильной связности, полученная по формуле 2) утверждения 3, будет следующей:

52) Эксцентриситет вершин, диаметр и радиус графа. Центральные и периферийные вершины.

Эксцентриситет вершины — максимальное из расстояний от данной вершины до других вершин.

Пусть дана вершина  . Расстояние до наиболее удаленной от   вершины графа называется эксцентриситетом вершины  . Обозначают:  .

.

 Радиусом графа   называется наименьший из эксцентриситетов всех его вершин. Обозначают:  .

.

Наибольший из эксцентриситетов всех вершин графа   называется его диаметром. Обозначают:  .

.

Множество вершин графа G с наименьшими эксцентриситетами называют центром графа G и обозначают Z(G), а сами вершины называют центральными.

Вершины с наибольшим эксцентриситетом называются диаметральными или периферийными.

Теорема 10

 

Для любого связного графа G   .

 

Доказательство

 

Так как  ,  , то     . Значит,  .

Пусть  - центральная,  - диаметральные вершины, тогда

Т.е. .

 

Следствие 11

 

Если   –  связный граф, то  .

 

Замечание

 

e(v)(v G),r(G),d(G),Z(G) называют метрическими характеристиками графа G.

 

Пример

 

 

 – диаметральные вершины.