44) Операции добавления вершины (ребра) к графу. Операции удаления вершины (ребра) графа.

1. Добавление вершины. К любому графу можно добавить одну вершину, не соединенную с другими вершинами ребрами (которую можно соединить с некоторыми вершинами графа).

2. Удаление несвязной вершины. Если в графе есть вершина, ко­торая не связана ребрами с другими вершинами, то данную вершину можно удалить из графа (вместе с инцидентными ребрами, если вершина связная).

3. Добавление ребра. Любые две вершины можно соединить ребром.

4. Удаление ребра. Любое ребро можно удалить из графа, при этом все вершины графа сохраняются.

45) Отождествление вершин графа. Стягивание ребра графа.

Стягивание ребра — отождествление пары вершин, т.е. удаление пары смежных вершин, и добавление новой вершины, смежной с теми вершинами, которые были смежны, хотя бы одной из удаленных вершин.

Пусть и – две вершины графа . Удалим эти вершины из графа и добавим новую вершину , соединив ее ребром с каждой вершиной, входящей в объединение окружений вершин и в исходном графе . Построенный граф получился из графа отождествлением вершин и . Отождествление вершин и называется стягиванием ребра , если .

Граф получили из графа отождествлением вершин 1 и 5.

Граф получили из графа стягиванием ребра (1,3).

46) Дополнение графа. Свойства. Кольцевая сумма графов. Свойства.

Последняя операция над графами, которую мы рассмотрим — дополнение графа. Она определена только для обыкновенных графов.

Д ополнением обыкновенного графа G называется обыкновенный граф, у которого множество вершин совпадает с множеством вершин графа G, и две вершины смежны тогда и только тогда, когда они не смежны в G. Дополнение графа G обозначается через G.

На рис. 7 изображены граф G и его дополнение G.

О тметим два очевидных свойства дополнения графа:

• е сли G — обыкновенный граф, то G = G;

• если обыкновенные графы G₁ и G₂ изоморфны, то графы G₁ и G₂ также изоморфны.

Кольцевой суммой графов и называется граф , порожденный на множестве ребер , т. е. на множестве ребер, присутствующих либо в , либо в , но не принадлежащих их пересечению .

47) Соединение (сумма) графов и его свойства.

Под суммой двух абстрактных графов понимают объединение графов с непересекающимися множествами вершин. Точнее говоря, имеется в виду следующее. Сначала вершинам графов-слагаемых присваиваются имена (пометки, номера) так, чтобы множества вершин не пересекались, затем полученные графы объединяются и пометки стираются (т.е. результат операции – тоже абстрактный граф). Операция сложения ассоциативна, то есть для любых трех графов. Поэтому можно образовывать сумму любого числа графов, не указывая порядка действий с помощью скобок. Если складываются k экземпляров одного и того же графа G, то полученный граф обозначается через . Например, .

Соединением графов и называется граф , получаемый из их суммы добавлением всех ребер, соединяющих вершины первого слагаемого с вершинами второго.

Соединение графов(Graphs union) – для графов G₁ и G₂ с непересекающимися множествами вершин V₁ и V₂ и ребер граф G₁ + G₂ = G₁ G₂ K(V₁ ,V₂), где K(V₁ ,V₂) - полный двудольный граф с множествами вершин V₁ и V₂ в долях.

Теорема. G₁ + G₂ = G₂+ G₁ , т.к. [a,b]=[b,a]