
- •1)Множества. Включения и равенство множеств. Свойства.
- •2) Операция объединения и пересечения множест. Свойства.
- •3)Разность и симметричная разность. Свойства.
- •4) Пустое и универсальное множество
- •Дополнение множества Определение
- •Свойства
- •6)Бинарные соответствия между множествами и их виды. Отображения мно-в и их св-ва.
- •Виды отображений
- •7) Композиция соответсвий. Ассоциативность композиции. Ассоциативность композиции функций
- •8) Инверсия соответствия и её св-ва.
- •10)Отношения строгого и нестрогого порядка
- •11)Равномощные множества. Теорема Кантора.
- •Доказательство
- •12)Отношение порядка на совокупности мощностей
- •13) Критерий бесконечности множества
- •14) Счетные множества. Свойства счетных множеств
- •15) Несчетные множества. Существование несчетных множеств
- •16) Свойства континуальных множеств
- •17) Метод математической индукции.
- •18) Основное правило комбинаторики
- •19) Перестановки и их число
- •20) Размещения и их число
- •23) Бином Ньютона.
- •24) Перестановки с повторениями и их число
- •25) Сочетания с повторениями и их число
- •26) Метод рекуррентных соотношений
- •40) Полные графы. Группа автоморфизмов полного графа.
- •41) Части графа и операции над ними.
- •42) Подграф. Пересечение и объединение подграфов.
- •43) Двудольные графы. Регулярные графы.
- •44) Операции добавления вершины (ребра) к графу. Операции удаления вершины (ребра) графа.
- •45) Отождествление вершин графа. Стягивание ребра графа.
- •46) Дополнение графа. Свойства. Кольцевая сумма графов. Свойства.
- •47) Соединение (сумма) графов и его свойства.
- •48) Произведение графов. Свойства.
- •49) Композиция графов. Некоммутативность операции композиции графов.
- •50) Маршруты, цепи, циклы, простые цепи и циклы. Связность в графах. Сильно связные графы. Связные компоненты.
- •51) Расстояние в графах. Матрицы связности и достижимости.
- •52) Эксцентриситет вершин, диаметр и радиус графа. Центральные и периферийные вершины.
- •53) Взвешенные графы. Взвешенные эксцентриситет, радиус и диаметр. Взвешенные графы
- •53.Взвешеные графы . Взвешенный эксцентриситет ,радиус и диаметр.
- •54.Эйлеровы графы. Построение Эйлеровых циклов.
- •55.Покрытия графов.
- •56.Гамильтоновы графы.
- •57.Деревья. Концевые вершины. Критерий дерева.
- •58.Лес и его свойства.
- •59.Остов графа. Циклический и коцикличский ранги графа
- •60.Взвешенные графы. Алгоритм нахождения остова графа наименьшего веса.
- •61.Обходы графа по глубине и ширине. Фундаментальные циклы графов.
- •62. Матрица фундаментальных циклов графа.
- •64. Фундаментальное множество коциклов графа . Матрица фундаментальных коциклов графа и его свойства.
- •65. Раскраска графов по вершинам. Алгоритм раскраски графа.
- •66) Задача о четырёх красках
- •О доказательстве
- •67)Раскраска рёбер мультиграфа
- •68)Свойства бихроматического графа
- •71 Билет
1)Множества. Включения и равенство множеств. Свойства.
Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое.
В математической логике и дискретной математике часто употребляемый синоним множества — алфавит. Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым, упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и бесконечным. Более того, как в наивной, так и в формальной теориях множеств любой объект обычно считается множеством.
Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а ∉ А (а не принадлежит А).
Два
множества
и
могут
вступать друг с другом в различные
отношения.
включено в , если каждый элемент множества принадлежит также и множеству :
включает , если включено в :
равно , если и включены друг в друга:
строго включено в , если включено в , но не равно ему:
строго включает , если строго включено в :
и не пересекаются, если у них нет общих элементов:
и
не
пересекаются
и находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству , элемент, принадлежащий исключительно множеству , а также элемент, принадлежащий обоим множествам:
и
находятся
в общем положении
Смешанные свойства
2) Операция объединения и пересечения множест. Свойства.
Свойства объединения множеств
Свойства
пересечения множеств
3)Разность и симметричная разность. Свойства.
Свойства разности множеств
Свойства
усечённой разности множеств
4) Пустое и универсальное множество
Пусто́е мно́жество (в математике) — множество, не содержащее ни одного элемента.
Свойства пустого множества
Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря,
и, в частности,
.
Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря,
и, в частности,
.
Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря,
и, в частности,
.
Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря,
и, в частности,
.
Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря,
и, в частности,
.
Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря,
и, в частности, .
Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря,
и, в частности,
Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря,
и, в частности,
.
Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря,
, где
.
Пустое множество — ординал. Иначе говоря,
, где
.
Мощность пустого множества равна нулю. Иначе говоря,
.
Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря,
Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все мыслимые объекты. Универсальное множество единственно.
Свойства универсального множества
Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.
В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.
Любое множество является подмножеством универсального множества.
В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.
Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.
В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.
В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.
В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.
Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.
Дополнение универсального множества есть пустое множество.
Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.
В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.