Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Экзамен по Дискретке(1-81).docx
Скачиваний:
23
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
6.11 Mб
Скачать

1)Множества. Включения и равенство множеств. Свойства.

Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое.

В математической логике и дискретной математике часто употребляемый синоним множества — алфавит. Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым, упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и бесконечным. Более того, как в наивной, так и в формальной теориях множеств любой объект обычно считается множеством.

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а ∉ А (а не принадлежит А).

Два множества и могут вступать друг с другом в различные отношения.

  • включено в , если каждый элемент множества принадлежит также и множеству :

включает , если включено в :

равно , если и включены друг в друга:

строго включено в , если включено в , но не равно ему:

строго включает , если строго включено в :

 и не пересекаются, если у них нет общих элементов:

и не пересекаются

 и находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству , элемент, принадлежащий исключительно множеству , а также элемент, принадлежащий обоим множествам:

и находятся в общем положении

Смешанные свойства

2) Операция объединения и пересечения множест. Свойства.

Свойства объединения множеств

Свойства пересечения множеств

3)Разность и симметричная разность. Свойства.

Свойства разности множеств

Свойства усечённой разности множеств

4) Пустое и универсальное множество

Пусто́е мно́жествоматематике) — множество, не содержащее ни одного элемента.

Свойства пустого множества

  • Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, и, в частности, .

  • Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, и, в частности, .

  • Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .

  • Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .

  • Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .

  • Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .

  • Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности,

  • Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .

  • Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, , где .

  • Пустое множество — ординал. Иначе говоря, , где .

  • Мощность пустого множества равна нулю. Иначе говоря, .

  • Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря,

Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все мыслимые объекты. Универсальное множество единственно.

Свойства универсального множества

  • Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.

  • В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.

  • Любое множество является подмножеством универсального множества.

  • В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.

  • Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.

  • В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

  • Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.

  • В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

  • Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.

  • В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.

  • Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.

  • Дополнение универсального множества есть пустое множество.

  • Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.

  • В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.