6.2 Связь частотных характеристик и переходных функций

Обратное преобразование Лапласа имеет вид . (6.3)

Независимая переменная меняется вдоль прямой, параллельной мнимой оси, на расстоянии от нее так, чтобы все полюсы были левее этой линии. Если все полюсы лежат левее мни­мой оси, то , можно положить , а .

Преобразование Лапласа в этом случае превращается в двух­стороннее преобразование Фурье .

Если все полюсы лежат левее мнимой оси, то все составляю­щие представляют экспоненты. Площадь под кри­вой каждой из компонент - конечная величина, и, следовательно, по всей кривой тоже конечная.

- это есть условие абсолютной интегрируемости функции .

Рисунок 6.5 - Сигнальный граф системы

Преобразование Фурье применимо для двухсторонних функций времени , определенных не только для , но и - . При этом функции должны быть абсолютно интегрируемы, т. е. удовлетворять условию

.

По выражению (6.3) можно получить импульсную переходную функцию . Так как не удовлетворяет условию сходимости и ее изображение имеет полюс на мнимой оси, непосредственное применение выражения (6.3) невозможно. Интеграл (6.3) можно использовать для вычисления переходной составляющей .

, которая удовлетворяет условию абсолютной сходимости. Обозначив и учитывая, что ,

Рисунок 6.6 - Представление обобщенной вещественной частотной характеристики трапециями

Первое слагаемое - четная функция, второе - нечетная, поэтому интеграл от второго равен нулю, а первое можно интегрировать от 0 до , умножив результат на 2.

при , поэтому, если взять и сложить с , то получим:

(6.4)

Отсюда вытекает, что и однозначно определяют переходный процесс.

В рассмотренном примере показана возможность по построить реакцию системы на единичное ступенчатое входное воздействие. Однако в реальных условиях необходимо стро­ить переходный процесс при произвольной форме входного сигнала. Для этого вводится понятие обобщенной передаточной функции, которая представляет собой такую передаточную функцию фиктивной сис­темы, реакция которой на единичное ступенчатое входное воздействие такая же, как и реакция реальной системы на реальное воздей­ствие.

Обозначим через обобщенную передаточную функцию, а через - передаточную функцию реальной системы. Тогда, если на вход реальной системы с действует реальное вход­ное воздействие , то будут иметь место равенство

.

Отсюда легко получить обобщенную передаточную функцию

.

Если сделать замену и в обобщенной амплитудно-фазо­вой характеристике выделить вещественную часть, то она будет называться обобщенной вещественной частотной характеристикой .

.

Она определяет реакцию реальной САУ на реальное воздействие. Основные свойства обобщенной вещественной частотной харак­теристики:

1. . (6.5)

2. . (6.6)

3. Двум обобщенным вещественным частотным характерис­тикам и соответствуют переходные процессы и .

4. Близким переходным процессам соответствуют близ­кие обобщенные вещественные характеристики.

Вычисление интеграла можно ограничить областью существенных частот . - есть частота среза. В результате мы получим переходный процесс, отличающийся от истинного при малом : .

5. Из пункта 3 вытекает, что при переходный процесс затухает быстрее для более пологой обобщен­ной вещественной частотной характеристики.

6. Если при , то САУ находится на границе устойчивости.

.

может обратиться в бесконечность только при , т.е. когда характеристическое уравнение имеет чисто мнимые кор­ни .

7. В.В. Солодовников показал, что переходный процесс не монотонный если:

, .

8. Процесс будет монотонным, если .

9. Если , то перерегулирование не будет превышать 18%.

6.3 Методика построения переходного процесса по обобщенной вещественной частотной характеристике

Метод основан на использовании трапецеидальных частотных характеристик и предложен В.В.Солодовниковым. Полученную вещественную частотную характеристику разбивают на трапеции и треугольники так, чтобы левая их сторона составляла часть оси ординат (рисунок 6.6). Треугольники и трапеции считаются положительными, если они относятся к площади, лежащей выше оси ординат, и отрицательными, если они описывают площадь ниже оси ор­динат или соответствуют излишне добавленным к положительным треугольникам и трапециям.

Более точно следую разбивать в начале участка, что соответствует основному участку переходного процесса. Использовать кривую достаточно в зоне .

- называется полосой пропускания частот, - ин­тервал равномерного пропускания частот. Коэффициент наклона

Здесь: .

Введем безразмерную форму времени , тогда

. (6.7)

Типовая трапеция имеет размеры:

; ; ;

Для треугольника , (6.8)

Для прямоугольника (6.9)

Для безразмерных значений и различных значений имеются таблицы для определения значений функции, соответствующей единичной высоте трапеции. Делая пересчет масштаба времени и масштаба высоты по формулам:

(6.10)

строят составляющую переходного процесса.

Порядок построения переходного процесса

1. Составляем для САУ операторное уравнение с нулевыми на­чальными условиями.

2. Находим обобщенную передаточную функцию .

3. Строим .

4. Разбиваем на прямоугольники, треугольники, трапеции .

5. Фиксируем параметры треугольников и трапеций.

6. Строим кривые переходного процесса для каждого треугольни­ка и трапеции в функции времени , причем ; .

7. Суммируя ординаты всех кривых, получаем результирующий пе­реходный процесс: .

Рисунок 6.7 - Построение переходного процесса по P(w)

6.4 Ошибки и их составляющие в САУ

Устойчивость САУ является необходимым условием ее применения, но недостаточным. Системы работают в различных режимах и при раз­личных входных воздействиях. При этом качество системы оценивается по величине ошибки , поучаемой в процессе работы, которая должна быть меньше допустимой (рисунок 6.8):

В соответствии с рисунком изображение ошибки запишем так:

. (6.11)

Здесь . Если , то , , .

Анализируя качество САУ, определяют:

1. Статическую погрешность регулирования

. (6.12)

2. Время регулирования, характеризующее быстродействие САУ, определяется как время , через которое разность

,

где - заданная величина, определяемая требуемой точностью системы.

3. Максимальное перерегулирование , определяемое как наиболь­ший заброс регулируемой величины относительно установившегося значения.

4. Число перерегулирований, определяемое как число выбро­сов, для которых .

Указанные показатели качества являются прямыми, для их опре­деления необходимо построить или записать переходный процесс.

Статическая ошибка по управляющему и возмущающему воздействиям можно быть найдена на основании теоремы о предельном переходе. ,

.

Если , то система называется астатической по управляющему воздействию.

Аналогично можно определить составляющую статической ошибки по возмущающему воздействию:

, .

Если , то САУ астатическая по возмущающему воздействию. Если или , то система называется статистической по соответствующему воздействию. Она может быть статиче­ской по одному воздействию и астатической по другому

. (6.13)