40. Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сумме их эластичностей.

Эластичность произведения ф-ий и в точке равна сумме эластичностей ф-ций в этой же точке: . Эластичность равна E_y=x(lny)

Док-во: Пусть тогда .

42. Сформулируйте теорему Ролля. Можно утвержд, что производная функции f(x) = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) обращается в нуль в трех точках интервала (2,5)?

Пусть ф-ция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и , то найдётся хотя бы одна точка , в которой .

Можно.

f(2)=0, f(3)=0, f(4)=0, f(5)=0 => существует С1из (2;3), такое, что f'(C1)=0, и тд 2, 3, 5, 4

43. Сформулируйте теорему Лагранжа. Докажите, что если f ′(x) = 0 на интервале (a,b), то функция f (x) постоянна на этом интервале.

Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с О (a, b) такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a)

 

=>

45. Сформулируйте теорему Коши для пары дифференцируемых функций. Выведите из теоремы Коши утверждение теоремы Лагранжа.

Пусть функции f(x) и g(x)

1. непрерывны на отрезке [a, b];

2. дифференцируемы в интервале (a, b);

"x О (a, b) g'(x) ≠ 0 .

Тогда существует точка c О (a, b) такая, что

  .

Частным случаем теоремы Коши (при g(x) = x) является теорема Лагранжа.

34. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух функций.

Если 2 функции U и V дифференцированы в некоторой точке, то тогда ф-я, равная Y=U+V, также будет иметь производную, равную Y’=U’V+UV’

Док-во:

Y= =

Т.к. U(x₀+x)= U + U = U(X₀)+U, аналогично для V

Раскрываем скобки и группируем

32. Следует ли из существования производной функции в точке ее непрерывность в этой точке?

Если функция U=f(x) дифференцирована в некоторый точке x=x₀, то она непрерывна в этой точке.

Это условии необходимое, но недостаточное.

Доказательство: пусть функция u= f(x) дифференцирована, тогда существует =а, тогда =а+(x), где (x) – б.м.

Тогда y=xа + x(x), y = ( f ’(x₀) x +x) = 0 в силу непрерывности.

№46 Дайте определение многочлена Тейлора ф-ции f(x) в точке x0. Чему равны его производные в этой точке? Укажите какой-либо многочлен P(x), удовлетворяющий условиям: .

Пусть ф-ция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен называется n-многочленом Тейлора ф-ции f(x) в точке x0.

Найдем производные:

аналогично

таким образом, для любого n, от 1 до к, выполняется равенство:

41. признак монотонности дифференцируемой функции:

Промежутки монотонности ф-ции совпадают с промежутками постоянного знака её производной

42. определение локального экстремума функции одной переменной:

Точка x₀ называется точкой локального max [min] ф-ции f(x), если для всех x из некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство

Локальный max и min объединяются общим названием локальны экстремум.

43. необходимое условие локального экстремума функции одной переменной:

Для того, чтобы дифференцируемая ф-ция f(x) имела в точке x₀ локальный экстремум необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство . Если при переходе через точку х0 меняет знак с + на – (с – на +), то х0 – это локальный максимум (минимум).

.

44. точка перегиба функции:

пусть функция f(x) непрерывна в точке х0. Точка х0 называется точкой перегиба, если при переходе через нее кривая меняет направление выпуклости .

45. необходимое условие точки перегиба:

пусть функция f(x) непрерывна в точке х0. Точка х0 называется точкой перегиба, если при переходе через нее кривая меняет направление выпуклости ( слева и справа от х0 знаки второй производной различны)

46. определение асимптот графика функций:

Асимптота графика функций y=f(x) - это прямая, расстояние до которой от точки (x,y) графика функций y=f(x) стремится к нулю, если хотя бы одна из координат (x,y) стремится к бесконечности. Асимптоты бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными.

47. определение первообразной для функций y=f(x) на промежутке X:

Пусть задана функция f(x) на интервале (a,b) . функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если F`(x)= f(x)для всех x принадлежащих (a,b).

48. определение неопределенного интеграла:

Совокупность всех первообразных функций f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается (« интеграл эф от икс дэ икс»).

49. свойства неопределенного интеграла:

51.Формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Если интеграл нельзя найти непосредственно, то в некоторых случаях можно применить метод замены переменной, положив х=ф(t), где ф(t)- непрерывно дифференцируемая монотонная функция. Справедливая формула замены переменной:

52.Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции на промежутке Х. Тогда на Х выполняется формула интегрирования по частям

53.Определение определенного интеграла Римана.

Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то единственное число, разделяющее эти два множества называют определенным интегралом функции y=f(x) по отрезку[a;b] и обозначают следующим образом:

54. Достаточное условие интегрируемости.

Функция y=f(x) называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка [a;b].

56.Свойства определенного интеграла.

1) _{. 2)}

_{3) 4)} ,для любых a,b,c. 5)Если f(x)≤g(x) отрезке [a,b], то 6)Если на отрезки [a,b] выполняется неравенства ₍оценка интеграла). 7)Теорема о среднем. Для непрерывной на отрезке[a,b] функция y=f(x) найдется точка С принадлежащая [a,b],что _.

57. Формула Ньютона-Лейбница.

Для нахождения определенного интеграла для функции f(x), интегрируемой на отрезке[a,b]: , гдеF(x)- любая первообразная для функции f(x) на[a,b].

58.Формула замены переменной в определенном интеграле.

Пусть в определенном интеграле _с непрерывной подынтегральной функцией f(x) производят замену переменной x= (t), при чем функция (t) непрерывно дифференцируема на отрезке [ ] и тогда справедливо равенство (t)dt.

59.Формула интегрирование по частям для определенного интеграла.

Пусть u(x) и v(x)-две непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [a,b]. Тогда выполняется формула интегрирования по частям _│

60. Определение несобственного интеграла с бесконечно верхним пределом.

Если существует конечный предел _, то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечно верхним пределом пределом от функции f(x) и обозначается _.

61.Определение несобственного интеграла с бесконечно нижним пределом.

Если существует конечный предел _, то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечно нижним пределом от функции f(x) _и обозначается _.

62.Определение несобственного интеграла от неограниченной функции на ограниченном промежутке.

Если функция f(x) определена при , интегрируема на любом отрезке и не ограничена слева от точки b, то по определению полагают Аналогично, если функция f(x) не ограничена справа от точки а, то . Наконец, если функция в окрестности внутренней точки с отрезка [a,b]не ограничена, то по определению _.

74. Докажите, что если F1(x) и F2 (x) - первообразные функции f (x) на интервале X , то F2 (x) = F1(x) + C , где C - некоторая постоянная.

Теорема: любые две первообразные для данной функции отличаются только постоянным слагаемым.

Доказательство. Пусть F₁(x) и F₂(x) – первообразные для функции f(x). В силу определения первообразной имеем F₁’(x)=f(x) и F₂’(x)=f(x) при любом значении x из отрезка дифференцируемости функции f(x).

Составим разность F₂(x) - F₁(x) и найдем производную этой разности.

(F₂(x) - F₁(x))’= F₁’(x)- F₂’(x)=f(x) – f(x)=0

Нулю равна только производная константы. Значит F₂(x)- F₁(x)=С или F₂(x)=F₁(x)+С, где С - некоторая постоянная.

75. Дайте определение неопределенного интеграла. При каких условиях справедливо равенство . ( f (x) + g(x))dx = . f (x)dx + . g(x)dx?

Если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то совокупность первообразных F(x)+C называется неопределенным интегралом от функции f(x).

Теорема: неопределенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е. ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx.

Доказательство. Дифференцируя левую часть равенства, получим:

(∫(f(x)+g(x))dx)’=f(x)+g(x),

производная правой части

(∫f(x)dx+ ∫g(x)dx)’=(∫f(x)dx)’+(∫g(x)dx)’=f(x)+g(x)

Производные равны, значит мы получили верное равенство, значит ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx.

76. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла. Докажите,что d(. f (x)dx)= f (x)dx.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

(∫f(x)dx)’=f(x)

(∫f(x)dx)’=(F(x)+C)=f(x)

d∫f(x)dx=(∫f(x)dx)’dx=f(x)dx

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е.

∫dF(x)=F(x)+C

3. Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, точнее, если k≠0, то

∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

4. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых, т.е.

∫(f₁(x)+f₂(x))dx=∫f₁(x)dx+∫ f₂(x)dx