11.2. Задача оптимизации портфеля

Для того чтобы составить эффективный портфель, не- обходимо найти точку касания границы эффективности с кри- вой безразличия инвестора. Предположим, инвестор намечает иметь в портфеле N определенных ценных бумаг. Ему необходимы характеристики этих бумаг, т.е. ожидаемые доходности Еi риск σi , и знать или вычислить коэффициенты корреляции rij между всеми парами выбранных бумаг. Выбрав цену риска, соответствующую λ*, инвестор получит эффективный портфель, отвечающий его готовности рисковать ради получения дохода.

Рассмотрим пример. Пусть инвестор хочет создать портфель из трех акций, имеющих следующие характеристики: — ожидаемые доходности — 20%, 30% и 40%; — стандартные отклонения — 20%, 40% и 50% соответственно; — коэффициенты корреляции — ρ12 = 0,5; Ρ13 = 0,1; Ρ23 = -0,1. Приняв λ = 0,получим Кi. Положив λ = 1 и решив эту же систему уравнений второй раз, вычислим ki . В результате получим: Х1 = 0,857 - 1,250λ, Х3 = 0,114 + 1,253λ.

11.3. Угловой портфель

На практике обычно на величины Xi накладывают ограничения. Самое распространенное из них Xi > 0. То есть предполагается, что инвестор не собирается делать эмиссию или брать в долг. Кроме того, возникают ограничения типа: доля любой ценной бумаги в портфеле не должна превышать определенной величины. Система уравнений сохраняет свой вид, но метод решения принципиально меняется.

Обозначим минимальные границы долей Li и максимальные Ui, Тогда в общем случае Li< Xi< Ui . Если для i-той бумаги выполняется условие Li < Xi < Ui ,она имеет внутренний статус. Если Хi = Ui ,— верхний статус, если Хi = Li — нижний статус. Далее нужно определить, каков будет статус ценных бумаг при λ → ∞. Для этого сначала всем ценным бумагам, входящим в портфель, присваивают нижний статус, кроме одной ценной бумаги, у которой максимальная доходность. Чтобы выяснить, какая именно ценная бумага меняет свой статус, иногда бывает необходимо решить соответствующую систему уравнений не один раз, положив для внутренних ценных бумаг Хi = KI + kiλ, а для верхних и нижних задав их граничные величины. Однозначного алгоритма, тем более для вырожденной точки, Не существует. Найдя первую критическую точку λсi , движемся по оси λ справа налево, находим следующую и т.д. Число критических точек не определено.

В результате получаем для каждого Xi кусочно-непрерывную ломаную линию. Приведем пример решения для портфеля из тех же бумаг, что и в предыдущем примере, при условии, что Х > 0, 0 < X2 < 0,6 и 0 < X3 < 0,6. Получим следующее решение:

— внутренний статус,

X3= 0,6 — верхний статус; — на отрезке 144 < λ < ∞:

Х1 = 0 — нижний статус,

Х2 = 0,4

— в точке λci = 144 ценная бумага 3 меняет свой статус с верхнего на внутренний.

Поиск решения в случае углового портфеля может оказаться весьма трудной задачей. К сожалению, именно такие задачи стоят перед составителем портфеля в подавляющем большинстве случаев. Например, различные фонды не имеют права держать в своем портфеле более некоторой наперед заданной доли одной ценной бумаги.